2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Факторизация по действию группы на многообразие
Сообщение21.09.2017, 13:17 


31/03/16
209
Помогите разобраться.
В одной задаче встретил следующую формулировку: "Пусть $M$ - компактное многообразие со свободным действием группы G. Веедите на факторпространстве $M/G$ структуру гладкого многообразия..."
Пытаюсь понять что это за факторпространство. Для примера, возьмем многообразие $S^1$. Подействуем на него группой со свободным действием. Тут, кстати, первый вопрос - нельзя ли привести пример такой группы? Я что-то не могу сообразить. Например группа поворотов в данном случае не будет со совбодным действием, потому что одну точку в другую можно перевести как поворотом на угол $\alpha$ так и поворотом на $2\pi - \alpha$.
И второй вопрос - что подразумевается под факторпростанством в данном случае? Правильно ли я понимаю что мы факторизуем по орбитам? Если да, то опять же, нельзя ли привести пример получившегося факторпространства...Очень трудно воспринимать все это абстрактно, а с конкретным примером я бы сразу уловил суть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Факторизация по действию группы на многообразие
Сообщение21.09.2017, 16:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
ikozyrev в сообщении #1249455 писал(а):
Например группа поворотов в данном случае не будет со совбодным действием, потому что одну точку в другую можно перевести как поворотом на угол $\alpha$ так и поворотом на $2\pi+\alpha$.

Ну так в группе поворотов и то и другое - один элемент.
($2\pi-\alpha$ - очевидная опечатка. Это то же самое, что поворот на $-\alpha,$ то есть попросту, в другую сторону, не туда, куда нам надо.)

ikozyrev в сообщении #1249455 писал(а):
Для примера, возьмем многообразие $S^1$.

Если вы планируете что-то факторизовать, то возьмите у него заранее размерность побольше. Например, $S^1\times S^1.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Факторизация по действию группы на многообразие
Сообщение21.09.2017, 16:36 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
ikozyrev в сообщении #1249455 писал(а):
Для примера, возьмем многообразие $S^1$

для примера возьмите $\mathbb{R}$ и подействуйте сдвигами $x\mapsto x+h$ т.е. группа состоит из степеней преобразования $g(x)=x+h,\quad h\ne 0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Факторизация по действию группы на многообразие
Сообщение21.09.2017, 16:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
pogulyat_vyshel
Может смутить то, что $\mathbb{R}$ некомпактно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Факторизация по действию группы на многообразие
Сообщение21.09.2017, 17:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
ikozyrev в сообщении #1249455 писал(а):
В одной задаче встретил следующую формулировку: "Пусть $M$ - компактное многообразие со свободным действием группы G. Веедите на факторпространстве $M/G$ структуру гладкого многообразия..."


Там явно чего-то не хватает (например, полной разрывности действия $G$).

Пример -- группа $G$ всех поворотов на рациональные углы действует на $S^1$. Фактормножество даже представить себе не так-то просто, и никакой естественной структуры многообразия на нём нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Факторизация по действию группы на многообразие
Сообщение21.09.2017, 17:15 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Пусть человек с тривиальными вещами сперва разберется на интуитивном уровне. Еще пример. Берем многообразие $S^1=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^2+y^2=1\}$ и действуем на него группой степеней отображений $g_0=id,\quad g_1(x,y)=-(x,y)$ Что тут фактормногообразие?

 Профиль  
                  
 
 Re: Факторизация по действию группы на многообразие
Сообщение21.09.2017, 17:56 


31/03/16
209
pogulyat_vyshel в сообщении #1249520 писал(а):
Пусть человек с тривиальными вещами сперва разберется на интуитивном уровне. Еще пример. Берем многообразие $S^1=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^2+y^2=1\}$ и действуем на него группой степеней отображений $g_0=id,\quad g_1(x,y)=-(x,y)$ Что тут фактормногообразие?

Похоже что $RP^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Факторизация по действию группы на многообразие
Сообщение21.09.2017, 18:02 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
не-а Начинайте с первого примера

 Профиль  
                  
 
 Re: Факторизация по действию группы на многообразие
Сообщение21.09.2017, 18:14 
Заслуженный участник


14/10/14
1220
ikozyrev в сообщении #1249530 писал(а):
Похоже что $RP^2$
$\mathbb RP^2$ -- оно двумерное. Как оно из окружности-то могло получиться?

 Профиль  
                  
 
 Re: Факторизация по действию группы на многообразие
Сообщение21.09.2017, 18:20 


31/03/16
209
pogulyat_vyshel в сообщении #1249535 писал(а):
не-а Начинайте с первого примера

В первом примере орбиты - это все точки $[0,h)$, правильно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Факторизация по действию группы на многообразие
Сообщение21.09.2017, 18:42 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
орбиты это последовательности в $\mathbb{R}$, но орбиты взаимно однозначно соответствуют точкам из $[0,h)$. Причем орбита, начинающаяся в $h$ совпадает с орбитой начинающейся в нуле. Поэтому этот полуинтервал естественно загнуть в окружность

 Профиль  
                  
 
 Re: Факторизация по действию группы на многообразие
Сообщение21.09.2017, 18:44 


31/03/16
209
pogulyat_vyshel в сообщении #1249544 писал(а):
орбиты это последовательности в $\mathbb{R}$, но орбиты взаимно однозначно соответствуют точкам из $[0,h)$. Причем орбита, начинающаяся в $h$ совпадает с орбитой начинающейся в нуле. Поэтому этот полуинтервал естественно загнуть в окружность

Спасибо, с этим разобрался.
А во втором примере я имел ввиду $RP$ ибо орбитами будут все точки окружности склеенные с противоположными, так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Факторизация по действию группы на многообразие
Сообщение21.09.2017, 18:48 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
ikozyrev в сообщении #1249545 писал(а):
А во втором примере я имел ввиду $RP$
да

 Профиль  
                  
 
 Re: Факторизация по действию группы на многообразие
Сообщение21.09.2017, 19:08 


31/03/16
209
pogulyat_vyshel в сообщении #1249547 писал(а):
ikozyrev в сообщении #1249545 писал(а):
А во втором примере я имел ввиду $RP$
да

Спасибо, теперь все понятно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group