Интегральное уравнение, функция Грина и т.п.

[spyphy]

В статье одной дается такая формула для расчета электрического поля

$E = (\frac{1}{2}I - K_D)^{-1}(\frac{\partial \Phi}{\partial n})$,

где $K_D E(\vec x) = p.v. \int\limits_{\partial D} \frac{\partial}{\partial n} G(\vec x - \vec x') E(\vec x') d \vec x'$.

По крайней мере там утверждается, что по этой формуле можно рассчитать поле $E$ (численно, видимо) когда область $D$ задана. Но никаких пояснений как считать не дается. В общем не можем понять с чего за это дело браться.

У меня есть подозрение, что надо решать интегральное уравнение, похоже на уравнение Фредгольма 2-го рода. Но тут еще проблема, что интеграл криволинейный по двухмерной области $D$. Вектор $\vec x = (x_1, x_2)$ - соответственно тоже двухмерный; $G$ - функция Грина, она известна; $\Phi(x,y) = \operatorname{const} \times y$ - потенциал поля; $n$ - единичный вектор нормали.

Мои попытки свести это дело к "нормальному" интегральному уравнению результатов пока не дали.

В общем если кто с такими делами встречался, дайте ссылку где смотреть.

Ссылка на статью если что http://iopscience.iop.org/article/10.10 ... 4/018/meta

[Munin]

spyphy в сообщении #1249232 писал(а):

Но тут еще проблема, что интеграл криволинейный по двухмерной области $D$.

Не-не-не. Он по двумерной области $\partial D$ - по двумерной границе трёхмерной области $D.$ И конечно, $\vec{x}$ трёхмерный, а вот под интегралом стоит элемент площади.

И самое коварное, это что мало знать этот интеграл. Надо ещё взять обратный от оператора, то есть вычислить $(\tfrac{1}{2}I-K_D)^{-1}.$

[spyphy]

Munin в сообщении #1249263 писал(а):

Не-не-не. Он по двумерной области $\partial D$ - по двумерной границе трёхмерной области $D.$ И конечно, $\vec{x}$ трёхмерный, а вот под интегралом стоит элемент площади.

Что-то пока не понял откуда это видно. Там судя по тексту $G$ зависит от двух координат. Но это ладно.

Munin в сообщении #1249263 писал(а):

Надо ещё взять обратный от оператора, то есть вычислить $(\tfrac{1}{2}I-K_D)^{-1}.$

Вот здесь самое интересное, а это вообще реально? Что значит взять обратный от интегрального оператора (как это можно себе представить?)

[Vince Diesel]

А $E$ это точно поле, а не заряд на границе? И неплохо было бы уточнить, по какой переменной производная по нормали берется, $x$ или $x'$.

[Munin]

spyphy в сообщении #1249296 писал(а):

Что-то пока не понял откуда это видно.

Ну, электродинамика - 3-мерная теория. Конечно, можно взять её аналоги в других размерностях, но физически это будет бессмысленно, и обычно при этом физические термины отбрасывают, и переходят к математическим.

spyphy в сообщении #1249296 писал(а):

Вот здесь самое интересное, а это вообще реально?

Реально, но трудно. Я, увы, эту технику не знаю. Например, оператор можно на что-то разложить, и тогда искать обратный в этом разложении. (Преобразование Фурье позволяет брать обратные от некоторых популярных операторов.)

[spyphy]

Vince Diesel в сообщении #1249311 писал(а):

А $E$ это точно поле, а не заряд на границе? И неплохо было бы уточнить, по какой переменной производная по нормали берется, $x$ или $x'$.

под интегралом нормаль $n$ соответствует $x$, на сколько я понял.
пишут, что $E = \partial u/ \partial n$, где $u=u(x,y)$ - потенциал эл. поля.
Вот короче текст из статьи:

[Munin]

Обращайте внимание на шрифт. Он не просто для украшения. $\mathbf{x}$ - это не то же самое, что $x.$ Просто $x$ - это координата, а $\mathbf{x}$ - это вектор, математическое традиционное обозначение для радиус-вектора (физическое традиционное обозначение - $\mathbf{r}$), то есть $\mathbf{x}=(x,y)$ или $(x,y,z).$

-- 21.09.2017 03:09:56 --

Судя по тексту, эта формула (7) используется не для расчёта $E.$

-- 21.09.2017 03:11:41 --

По крайней мере, про обратимость оператора сказано только, что она доказана, и даётся ссылка [25] на работу, где это обсуждается.

[spyphy]

Munin в сообщении #1249378 писал(а):

По крайней мере, про обратимость оператора сказано только, что она доказана, и даётся ссылка [25] на работу, где это обсуждается.

В работе 25 ссылаются на какие-то старые статьи и т.д.

Munin в сообщении #1249378 писал(а):

Судя по тексту, эта формула (7) используется не для расчёта $E.$

пишут

Munin в сообщении #1249378 писал(а):

$\mathbf{x}$ - это вектор,

Это я заметил.
В любом случае здесь получается, как я понял, какое-то двумерное интегральное уравнение и тогда вопрос как такое решать (численно).

[Munin]

spyphy в сообщении #1249419 писал(а):

пишут

Всё-таки я бы не торопился с выводами, пока не увидел бы контекст. Очевидно, что напрямую (7) для вычислений непригодно (или нужно отдельно пояснить, как вычислять обратный оператор).

[Vince Diesel]

В формуле (6) берется предел производной по нормали при приближении точки к $\partial D$. В силу формулы скачка для нормальной производной потенциала простого слоя на границе $D$ получается равенство

$$ 0=\frac{\partial \Phi(x)}{\partial n}-\frac12E(x)+ {\cal K}^*_D E(x),\quad x\in \partial D. $$

То, что написано дальше просто формальная запись для решения $E$ этого интегрального уравнения второго рода.

[spyphy]

Vince Diesel в сообщении #1249494 писал(а):

То, что написано дальше просто формальная запись для решения $E$ этого интегрального уравнения второго рода.

Похоже на то, у меня аналогичная мысль возникала.

Что касается размерностей, то в статье явно написано, что $Y$ --- двумерная область, а $D \subseteq Y$, так что $\partial D$ получается кривая (статью писали математики видать). Не понял только куда делся кружок в обозначении интеграла в формуле (8).

В общем моя потытка расписать криволинейный интеграл дает что-то в духе (для краткости только половину привожу):

$\int\limits_{-R}^R g(x_1-x_1', x_2 + L/2) E(x_1', -L/2) dx_1' + \int\limits_{-L/2}^{L/2} g(x_1 - R, x_2 - x_2') E(R, x_2') d x_2'$.

Так вот, поскольку $E$ зависит от двух переменных, то как тут общее интегральное ядро выразить не понятно и каким методом решать уравнение.