2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 множество sin(n), n=1,2... всюду плотно в [-1,1]
Сообщение05.06.2008, 23:16 


24/05/06
72
Доказать, что множество A = $\{\sin(n),n = 1,2\ldots\}$ всюду плотно в I=[-1,1].
По определению A всюду плотно в I, если $\forall x \in I, \forall \epsilon > 0, \exists a \in A: a \in B(x,\epsilon)$. Т.е. необходимо доказать, что $$\forall x \in I, \forall \epsilon > 0, \exists  n \in \mathbb N: |x-sin(n)|<\epsilon.\eqno(*)$$ Разбиваем $I=[-1,0) \cup \{0\}\cup (0,1]$ и для каждого разбиения проверяем условие (*). Пусть x = 0, тогда $\forall \epsilon \in [0,1], \exists n \in \mathbb N: |sin (n)|<\epsilon$. Вопрос: как доказать, что $\exists n \in \mathbb N: |sin(n)|<\epsilon$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.06.2008, 23:26 
Аватара пользователя


14/10/07
241
Киев, мм
Вы с теоремой Дирихле знакомы?
$|\sin n |=| \sin n-\sin k\pi | \leqslant |n-k\pi|$.
$ \pi$-иррациональное, поетому за теоремой Дирихле сущестувует бесконечно много целых $n,k$, таких что $|n-k\pi|< \epsilon$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.06.2008, 23:33 


24/05/06
72
Действительно, все просто. Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.06.2008, 02:33 
Экс-модератор
Аватара пользователя


30/11/06
1265
Taras
Позвольте напомнить, что в этом разделе не помещают полные решения задач.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.06.2008, 14:48 
Аватара пользователя


14/10/07
241
Киев, мм
:oops:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group