множество sin(n), n=1,2... всюду плотно в [-1,1]

[MMyaf]

Доказать, что множество A = $\{\sin(n),n = 1,2\ldots\}$ всюду плотно в I=[-1,1].
По определению A всюду плотно в I, если $\forall x \in I, \forall \epsilon > 0, \exists a \in A: a \in B(x,\epsilon)$. Т.е. необходимо доказать, что

$$\forall x \in I, \forall \epsilon > 0, \exists n \in \mathbb N: |x-sin(n)|<\epsilon.\eqno(*)$$

Разбиваем $I=[-1,0) \cup \{0\}\cup (0,1]$ и для каждого разбиения проверяем условие (*). Пусть x = 0, тогда $\forall \epsilon \in [0,1], \exists n \in \mathbb N: |sin (n)|<\epsilon$. Вопрос: как доказать, что $\exists n \in \mathbb N: |sin(n)|<\epsilon$

[Taras]

Вы с теоремой Дирихле знакомы?
$|\sin n |=| \sin n-\sin k\pi | \leqslant |n-k\pi|$.
$ \pi$-иррациональное, поетому за теоремой Дирихле сущестувует бесконечно много целых $n,k$, таких что $|n-k\pi|< \epsilon$

[MMyaf]

Действительно, все просто. Спасибо.

[нг]

Taras
Позвольте напомнить, что в этом разделе не помещают полные решения задач.

[Taras]