И наконец, о функциональных интегралах.
Sicker, Вы просили.
Тут есть две темы. Простая и посложнее. Начнём с простой. Интеграл

написан во-первых, в приближении квазигеометрической оптики, а во-вторых, в параксиальном приближении:
Если у нас есть пучок, распространяющийся преимущественно в направлении

...
Последнее означает, что пучок слабо отклоняется от направления

. Значит в

величины

и подынтегральную величину можно раскладывать в ряд. Получим

, то есть Гауссов интеграл. Если такой трюк вызывает отторжение, то надо вспомнить про квазигеометрическую оптику. Она означает, что работать надо вблизи классического луча, и стало быть осмысленное выражение это разложение вблизи классического луча

. Оно тоже гауссово.
Если и это производит впечатление некоторого читерства, то есть третий путь. Я, к сожалению, не помню, где это описано, поэтому воспроизведу по памяти (то есть, с ошибками). Итак, решаем мы уравнение скалярной оптики:

Во-первых, сделаем преобразование Фурье по времени, а во-вторых, введём новую переменную

Букву

вводят для удобства перехода к геометрической оптике (

).
Кроме того, выделим из

часть, равную константе на бесконечности:

если

. Тогда получим

Ничего не напоминает? Что бы окончательно добить это до уравнения Шрёдингера введём фиктивное время

и функцию

Всё, золотой ключик в кармане. Мы получаем зависящее от времени уравнение Шрёдингера

и можем натравить на него весь аппарат функционального интегрирования.
При этом надо помнить, что величина, считаемая в лоб по Фейнману

бессмысленная, поскольку зависит от не физической

, а осмысленная -
![$$
\int\limits_{0}^{\infty}d\tau\int Dy e^{iB(E\tau+S[y])},
$$ $$
\int\limits_{0}^{\infty}d\tau\int Dy e^{iB(E\tau+S[y])},
$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/c/2/3c200244030b67df871d9aa3851ecf1882.png)
и осмыслена она только вблизи точки перевала, где ее и надо варьировать. В качестве упражнения оставляю Вам доказательство того, что вблизи перевала этот подход совпадает с предыдущим (а то надо опять всякой ерундой заняться).