Метод интеграла по траекториям в оптике

[Sicker]

Я читал, что функциональный интеграл можно корректно определить только если лагранжиан в показателе экспоненты квадратичен по скоростям или координатам. Как например в случае лагранжиана классической частицы, из которого можно получить пропагатор ур-я Шредингера, взяв функциональный интеграл.
А вот как быть в случае оптики? Там же вклад от траектории определяется как $\frac{exp(ikL)}{L}$, где $L$ — длина пути виртуального вклада. Но ведь такое действие нелокально. Т.е. если мы возьмем часть такой траектории, и будем его варьировать, то изменение вклада в амплитуду события будет зависить от неварьируемой части, в отличие например от вклада классической частицы. И например, пусть событие 2 вносит вклад в амплитуду события 1, и событие 2 может наступить двумя путями, A и B, а событие 1 может наступить из события 2 тоже двумя путями, A1 и B1. Тогда итоговый вклад в событие 1 будет получаться сложением вкладов от траекторий, проходящих через эти события, т.е. АА1, АВ1, ВА1, ВВ1.Но в случае локального действия, как в случае с классической частицей, мы можем сначала вычислить амплитуду события 2 как сумму вкладов от А и В, а потом эту амплитуду умножить на значение пропагатора для события 2 в событии 1, т.е. он будет равен сумме вкладов А1 и В1. Но этого свойства не дает сделать обратная пропорциональность расстоянию в случае фотона. Это плохо?
И еще вопрос, насколько вообще хорошо берется этот функциональный интеграл численно? Ведь его из-за нелокальности нельзя разбить на многократные свертки, как в случае квантовой частицы.

[warlock66613]

Sicker в сообщении #1243026 писал(а):

А вот как быть в случае оптики?

Подозреваю, что так же, как и в случае релятивистской механики: надо взять другое действие, которое будет квадратично по всему, по чему оно должно быть, но при этом будет приводить к тем же уравнениям движения.

[amon]

Sicker в сообщении #1243026 писал(а):

Я читал, что функциональный интеграл можно корректно определить только если лагранжиан в показателе экспоненты квадратичен по скоростям или координатам.

Это неправда. В этом случае его легко сосчитать, а определить его можно на гораздо более широком классе функционалов. Если говорить об оптике, то один из подходов описан у Демичева с Чайчианом. Chaichian M., Demichev A. Path integrals in physics, vol.1. Stochastic processes and quantum mechanics (IOP, 2001) 2.2.6 Applications of path integrals to optical problems based on a formal analogy with quantum mechanics. Стр. 187.

[Sicker]

amon
, а я че-то не врубился, какой там функционал? Такой же как у меня только без деления?

[amon]

Sicker в сообщении #1243300 писал(а):

а я че-то не врубился, какой там функционал?

Там рассматривается два подхода в рамках скалярной оптики (это когда мы усредняемся по поляризациям, и вводим вместо электромагнитных полей фиктивное комплексное поле $u$, такое, что интенсивность $I=|u|^2$). Первый связан с принципом Ферма. Если у нас есть пучок, распространяющийся преимущественно в направлении $z$, то при заданном в плоскости $z_0$ поле $u(x,z_0)$ поле в плоскости $z_0+dz$ получится сложением всех лучей, вышедших из плоскости $z=z_0$. В эйкональном приближении такие лучи это $u(x',z_0)e^{-ik\,dS}$, а $dS$ - оптическая длина пути $dS=n(x,z)dl=n(x,z)\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}=n(x,z)\sqrt{1+\left(\frac{dx}{dz}\right)^2+\left(\frac{dy}{dz}\right)^2}\,dz.$ Величина $e^{-ik\,dS}$ при таком подходе это аналог $\hat{U}=e^{-i\hat{H}t},$ оператора развития в квантовой механике, а координата $z$ - аналог времени. Тогда по аналогии можно написать ответ для функции Грина $G(x,x',z)$ нашего поля $u$. Эта функция позволяет вычислить поле $u$ в любой точке на оси $z$ если мы знаем, скажем, $u(x,0)$: $u(x,z)=\int dx' G(x,x',z)u(x',0).$ Получится $G(x,x',z)=N\int Dx(z)\exp(-ik\int\limits_{0}^{z}dS(x(z'),z'))$, где $x(z=0)=x$ и $x(z)=x'$ в полной аналогии с квантовой механикой. Т.е. функционал там - $\int\limits_{0}^{z}dz' n(x,z')\sqrt{1+\left(\frac{dx}{dz'}\right)^2+\left(\frac{dy}{dz'}\right)^2}.$

Второй способ связан со сведением волнового уравнения к уравнению Шредингера и прямым применением к последнему всей машинерии функционального интегрирования.

Ваше $\frac{\exp(ikL)}{L}$ - это недописанный результат решения уравнения в случае однородного пространства в сферических координатах (если под $L$ понимать радиус). Оно имеет очень касательное отношение к функциональному интегралу (такое же решение есть и у уравнения Шредингера). Для написания функционального интеграла нужно написать функцию распространения (функцию Грина) для коротких времен и переписать распространение на конечное время как много коротких шагов.

[Sicker]

т.е., говоря простыми словами, вклад в амплитуду для какой-то виртуальной траектории будет равен $\exp(-ikL)$, где L - длина виртуальной траектории.

-- 27.08.2017, 02:27 --

amon в сообщении #1243327 писал(а):

$u(x,0)$: $u(x,z)=\int dx' G(x,x',z)u(x',0).$

А если у нас в промежуточной области между плоскостями $x'$ и $x$ будет какое то тело, то функция Грина останется такой же? Или не учитывать те вклады, если прямая $x-x'$ пересекает наше непрозрачное тело?

[amon]

Sicker в сообщении #1243333 писал(а):

А если у нас в промежуточной области между плоскостями $x'$ и $x$ будет какое то тело, то функция Грина останется такой же? Или не учитывать те вклады, если прямая $x-x'$ пересекает наше непрозрачное тело?

В таком формализме это вставляется в показатель преломления (бесконечный, чисто мнимый).

[Sicker]

amon в сообщении #1243336 писал(а):

В таком формализме это вставляется в показатель преломления (бесконечный, чисто мнимый).

Но ведь амплитуда вклада там не ослабевает с расстоянием, и получается, свет все равно пройдет через непрозрачное тело, а не обогнет его.

-- 27.08.2017, 15:05 --

amon в сообщении #1243336 писал(а):

В таком формализме это вставляется в показатель преломления (бесконечный, чисто мнимый).

А т.е. и функция Грина будет зависеть от расположения различных тел над плоскостью?

-- 27.08.2017, 15:18 --

Sicker в сообщении #1243426 писал(а):

В таком формализме это вставляется в показатель преломления (бесконечный, чисто мнимый).

А, он еще мнимый? Т.е. там тупо амплитуда упадет в ноль тогда?

[amon]

Sicker в сообщении #1243426 писал(а):

А т.е. и функция Грина будет зависеть от расположения различных тел над плоскостью?

А, он еще мнимый? Т.е. там тупо амплитуда упадет в ноль тогда?

Вижу, Вы все правильно поняли.

[Sicker]

amon, это выражение для действия похоже на действие для релятивистской частицы, только с другой метрикой. И если из этого действия получается уравнение Гельмгольца, то в случае релятивистской частицы получается уравнение Клейна-Гордона-Фока, которое по форме напоминает уравнение Гельмгольца в оптике, при похожих то лагранжианах!

-- 28.08.2017, 20:46 --

Все, я понял КТП!
Я в ФЕЙНМАНЕ!

[Sicker]

amon
А вот тот осциллирующий интеграл не сходится, т.к. на бесконечности он не квадратичен.

[amon]

Sicker в сообщении #1248742 писал(а):

А вот тот осциллирующий интеграл не сходится

Сходится. На днях отвечу как. Сейчас пока занят, так что подождите пожалуйста.

[amon]

И наконец, о функциональных интегралах. Sicker, Вы просили.
Тут есть две темы. Простая и посложнее. Начнём с простой. Интеграл $G(x,x',z)=N\int Dx(z)\exp(-ik\int\limits_{0}^{z}dS(x(z'),z'))$ написан во-первых, в приближении квазигеометрической оптики, а во-вторых, в параксиальном приближении:

amon в сообщении #1243327 писал(а):

Если у нас есть пучок, распространяющийся преимущественно в направлении $z$...

Последнее означает, что пучок слабо отклоняется от направления $z$. Значит в $\int\limits_{0}^{z}dz' n(x,y,z')\sqrt{1+\left(\frac{dx}{dz'}\right)^2+\left(\frac{dy}{dz'}\right)^2}$ величины $\frac{dx}{dz'},\frac{dy}{dz'}\ll 1$ и подынтегральную величину можно раскладывать в ряд. Получим $\int\limits_{0}^{z}dz' n(x,y,z')\left(1+\frac{1}{2}\left(\frac{dx}{dz'}\right)^2+\frac{1}{2}\left(\frac{dy}{dz'}\right)^2\right)$, то есть Гауссов интеграл. Если такой трюк вызывает отторжение, то надо вспомнить про квазигеометрическую оптику. Она означает, что работать надо вблизи классического луча, и стало быть осмысленное выражение это разложение вблизи классического луча

$$G(x,x',z)=\exp(iS_\text{cl})\int Dy(z)\exp\left(-ik\int\limits_{0}^{z}dz'\left.\frac{\delta^2 S}{\delta x(z')^2}\right|_{x=x_\text{cl}}y^2(z')\right)$$

. Оно тоже гауссово.

Если и это производит впечатление некоторого читерства, то есть третий путь. Я, к сожалению, не помню, где это описано, поэтому воспроизведу по памяти (то есть, с ошибками). Итак, решаем мы уравнение скалярной оптики:

$$ \frac{n^2}{c^2}\frac{\partial^2u}{\partial t^2}-\nabla^2u=0 $$

Во-первых, сделаем преобразование Фурье по времени, а во-вторых, введём новую переменную $y=\frac{\omega}{Bc}x.$ Букву $B$ вводят для удобства перехода к геометрической оптике ($B\to\infty$).
Кроме того, выделим из $n(y)$ часть, равную константе на бесконечности: $n(y)=E+V(y)\quad V\to0$ если $y\to\infty$. Тогда получим

$$ -\frac{1}{B^2}\nabla^2u+V(y)u=Eu $$

Ничего не напоминает? Что бы окончательно добить это до уравнения Шрёдингера введём фиктивное время $\tau$ и функцию

$$\Psi(y,\tau)=e^{-iEB\tau} u(y)$$

Всё, золотой ключик в кармане. Мы получаем зависящее от времени уравнение Шрёдингера

$$ -\frac{1}{B^2}\nabla^2\Psi+V(y)\Psi=\frac{i}{B}\frac{\partial\Psi}{\partial \tau} $$

и можем натравить на него весь аппарат функционального интегрирования.

При этом надо помнить, что величина, считаемая в лоб по Фейнману

$$ G(y,y_0,\tau)=\int Dy \exp{\left(iB\int\limits_{0}^{\tau}\left(\frac{1}{2}\left(\frac{\partial y}{\partial \tau'}\right)^2-V(y)\right)d\tau'\right)} $$

бессмысленная, поскольку зависит от не физической $\tau$, а осмысленная -

$$ \int\limits_{0}^{\infty}d\tau\int Dy e^{iB(E\tau+S[y])}, $$

и осмыслена она только вблизи точки перевала, где ее и надо варьировать. В качестве упражнения оставляю Вам доказательство того, что вблизи перевала этот подход совпадает с предыдущим (а то надо опять всякой ерундой заняться).