Функции, сохраняющие сходимость рядов

[Human]

Вопрос возник из раздумий над разнообразными задачками по теории рядов, в которых предлагается подумать над тем, будет ли из сходимости одного типа рядов вытекать сходимость другого типа рядов.

Пусть функция $f$ такова, что если ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ сходится, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty}f(a_n)$ тоже сходится. Понятно, что $f$ имеет смысл рассматривать только в некоторой окрестности нуля, то есть важны только локальные свойства этой функции в нуле. Собственно, вопрос в том, что можно сказать о такой функции?

Для краткости дальнейшего изложения, буду свойство сохранения сходимости ряда, описанное выше, сокращать до СССР. Напишу то, что мне удалось самому установить и доказать о СССР:

1. СССР влечет непрерывность в нуле.

2. Линейная однородная функция удовлетворяет СССР.

3. Степенные функции $x^n,\ n\geqslant2,\ n\in\mathbb{N}$ не удовлетворяют СССР.

4. Как следствие предыдущего, если $f$ удовлетворяет СССР и имеет в нуле $n\geqslant3$ производных, то $f^{(k)}(0)=0,\ 2\leqslant k\leqslant n-1$.

5. Как следствие предыдущего, среди всех регулярных в нуле функций только линейная однородная удовлетворяет СССР.

Как видим, СССР оказался довольно ограничивающим, но полное его описание для меня все еще далеко. Соли на рану добавляет тот факт, что у меня никак не получается придумать функцию, удовлетворяющую СССР и отличную от линейной однородной в любой окрестности нуля. Уже и функцию Дирихле привлекал, и пытался "выкалывать" бесконечно малую последовательность из линейной однородной, но все равно какой-нибудь поганый ряд нет-нет да и убивает СССР.

В общем, вопросы у меня такие:

1. Можно ли доказать дифференцируемость (или даже много раз дифференцируемость) в нуле?

2. Если нет, то какой контрпример можно построить? Какой вообще еще нетривиальный пример существует?

3. Ну и вообще что-нибудь еще накопать к тому, что я написал выше.

[kp9r4d]

Human в сообщении #1247807 писал(а):

3. Степенные функции $x^n,\ n\geqslant2,\ n\in\mathbb{N}$ не удовлетворяют СССР.

Удовлетворяют же, вы чего.

[Human]

kp9r4d в сообщении #1247809 писал(а):

Human в сообщении #1247807 писал(а):

3. Степенные функции $x^n,\ n\geqslant2,\ n\in\mathbb{N}$ не удовлетворяют СССР.

Удовлетворяют же, вы чего.

А как же $a_k=\frac{(-1)^k}{\sqrt k}$ (для $n=2$)? Аналогичные ряды можно и для других степеней подобрать.

[mihaild]

kp9r4d в сообщении #1247809 писал(а):

Удовлетворяют же, вы чего.

Ну для четного $n$ ряд $\frac{(-1)^k}{\sqrt[n]{k}}$ подходит как контрпример.

Вообще кажется для абсолютной и условной сходимости ситуации будут сильно разные. Для абсолютной достаточно, чтобы $f$ убывала в нуле не медленнее чем линейно (и скорее всего необходимо).

[kp9r4d]

А, извиняюсь, условные не люблю.

[lel0lel]

Human в сообщении #1247811 писал(а):

Аналогичные ряды можно и для других степеней подобрать.

для нечетных степеней нельзя.

[Human]

lel0lel в сообщении #1247817 писал(а):

для нечетных степеней нельзя.

$a_k=\cfrac{\cos\frac{2\pi k}3}{\sqrt[3]k}$ для $n=3$. Для других аналогично.

[Dan B-Yallay]

Human в сообщении #1247807 писал(а):

если ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ сходится, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty}f(a_n)$ тоже сходится

Я бы тогда выбрал какую-нибудь функцию со свойством

$$ \begin{cases} 0 \leqslant f(x) \leqslant x, \ x>0\\ x \leqslant f(x) \leqslant 0, \ x < 0 \end{cases}$$

Арктангенс с каким-нить коэффициентом не подойдёт?

___________________Upd______________________________

Разумеется, это противоречит Вашему

Human в сообщении #1247807 писал(а):

4. Как следствие предыдущего, если $f$ удовлетворяет СССР и имеет в нуле $n\geqslant3$ производных, то $f^{(k)}(0)=0,\ 2\leqslant k\leqslant n-1$.

но я не уверен, что оно доказано верно. С другой стороны, какой смысл искать

Human в сообщении #1247807 писал(а):

функцию, удовлетворяющую СССР и отличную от линейной однородной в любой окрестности нуля.

если 4. всё-таки истинно.

[lel0lel]

Human в сообщении #1247821 писал(а):

$a_k=\cfrac{\cos\frac{2\pi k}3}{\sqrt[3]k}$ для $n=3$. Для других аналогично.

Действительно, поспешил с заключением.

[mihaild]

$f$ как минимум нечетная должна быть. Потому что иначе выбираем последовательность $x_n \to 0, x_n > 0$ такую что $\frac{f(x_n)}{-f(-x_n)} \neq 1$ и берем ряд $x_1 - x_1 + x_1 - x_1 + x_2 - x_2 + \ldots$, где каждый член повторяется столько раз, чтобы после применения $f$ к этому участку получалось что-то, отделенное от нуля.

-- 15.09.2017, 00:41 --

Dan B-Yallay в сообщении #1247823 писал(а):

Арктангенс с каким-нить коэффициентом не подойдёт?

Не понимаю, куда вставлять коэффициент, но сам арктангенс не подойдет.
Строим ряд таким образом: $k$-й сегмент состоит из $k^3$ минисигментов $\frac{1}{k}, \frac{-1}{k^3}, \ldots, \frac{-1}{k^4}$ ($k^3$ штук $\frac{-1}{k^4}$).
Арктангенс это превращает в $\frac{1}{k} - \frac{1}{3k^3}+ o\left(\frac{1}{k^4}\right), -\frac{1}{k^4} + o\left(\frac{1}{k^7}\right), \ldots$ - что оставляет от каждого минисигмента $-\frac{1}{3k^3} + o\left(\frac{1}{k^4}\right)$. И каждый сегмент соответственно оставляет $\frac{1}{3} + o(1)$.

Вроде бы аналогичная конструкция проходит для любого разложения до второй и выше степени.

Dan B-Yallay в сообщении #1247823 писал(а):

С другой стороны, какой смысл искать Human в сообщении #1247807

писал(а):
функцию, удовлетворяющую СССР и отличную от линейной однородной в любой окрестности нуля. если 4. всё-таки истинно.

Ну бывают недостаточно гладкие функции:)

[Dan B-Yallay]

mihaild в сообщении #1247829 писал(а):

Не понимаю, куда вставлять коэффициент, но сам арктангенс не подойдет.

помножить арктангенс на коэффициент, чтобы выполнялось

Dan B-Yallay в сообщении #1247823 писал(а):

$$ \begin{cases} 0 \leqslant f(x) \leqslant x, \ x>0\\ x \leqslant f(x) \leqslant 0, \ x < 0 \end{cases}$$

Конструкцию с (мини)сегмeнтами не понял, попробую позже разобраться.

-- Чт сен 14, 2017 15:58:43 --

Dan B-Yallay в сообщении #1247838 писал(а):

помножить арктангенс на коэффициент, чтобы выполнялось

Оно же вроде и так выполняется?

[g______d]

Теорема 2.6 отсюда

https://projecteuclid.org/euclid.rae/1339694101

[Human]

g______d
Огромное спасибо, это именно то, что нужно! Только на мой вопрос отвечает не теорема 2.6, а теорема A:

A function $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ belongs to $F^{(cp)}$ if and only if there are $a\in\mathbb{R}$ and $\delta>0$ such that for each $x\in(-\delta,\delta)$ we have $f(x)=ax$.

Другими словами, как я и предполагал, кроме линейной однородной функции никаких других удовлетворяющих СССР функций нет. Осталось только найти доказательство этой теоремы, но с этим, думаю, я и сам справлюсь.

Еще раз спасибо.