Вопрос возник из раздумий над разнообразными задачками по теории рядов, в которых предлагается подумать над тем, будет ли из сходимости одного типа рядов вытекать сходимость другого типа рядов.
Пусть функция
такова, что если ряд
сходится, то ряд
тоже сходится. Понятно, что
имеет смысл рассматривать только в некоторой окрестности нуля, то есть важны только локальные свойства этой функции в нуле. Собственно, вопрос в том, что можно сказать о такой функции?
Для краткости дальнейшего изложения, буду свойство сохранения сходимости ряда, описанное выше, сокращать до СССР. Напишу то, что мне удалось самому установить и доказать о СССР:
1. СССР влечет непрерывность в нуле.
2. Линейная однородная функция удовлетворяет СССР.
3. Степенные функции
не удовлетворяют СССР.
4. Как следствие предыдущего, если
удовлетворяет СССР и имеет в нуле
производных, то
.
5. Как следствие предыдущего, среди всех регулярных в нуле функций только линейная однородная удовлетворяет СССР.
Как видим, СССР оказался довольно ограничивающим, но полное его описание для меня все еще далеко. Соли на рану добавляет тот факт,
что у меня никак не получается придумать функцию, удовлетворяющую СССР и отличную от линейной однородной в любой окрестности нуля. Уже и функцию Дирихле привлекал, и пытался "выкалывать" бесконечно малую последовательность из линейной однородной, но все равно какой-нибудь поганый ряд нет-нет да и убивает СССР.
В общем, вопросы у меня такие:
1. Можно ли доказать дифференцируемость (или даже много раз дифференцируемость) в нуле?
2. Если нет, то какой контрпример можно построить? Какой вообще еще нетривиальный пример существует?
3. Ну и вообще что-нибудь еще накопать к тому, что я написал выше.