2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Функции, сохраняющие сходимость рядов
Сообщение14.09.2017, 23:18 
Аватара пользователя


20/03/12
139
Вопрос возник из раздумий над разнообразными задачками по теории рядов, в которых предлагается подумать над тем, будет ли из сходимости одного типа рядов вытекать сходимость другого типа рядов.

Пусть функция $f$ такова, что если ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ сходится, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty}f(a_n)$ тоже сходится. Понятно, что $f$ имеет смысл рассматривать только в некоторой окрестности нуля, то есть важны только локальные свойства этой функции в нуле. Собственно, вопрос в том, что можно сказать о такой функции?

Для краткости дальнейшего изложения, буду свойство сохранения сходимости ряда, описанное выше, сокращать до СССР. Напишу то, что мне удалось самому установить и доказать о СССР:

1. СССР влечет непрерывность в нуле.

2. Линейная однородная функция удовлетворяет СССР.

3. Степенные функции $x^n,\ n\geqslant2,\ n\in\mathbb{N}$ не удовлетворяют СССР.

4. Как следствие предыдущего, если $f$ удовлетворяет СССР и имеет в нуле $n\geqslant3$ производных, то $f^{(k)}(0)=0,\ 2\leqslant k\leqslant n-1$.

5. Как следствие предыдущего, среди всех регулярных в нуле функций только линейная однородная удовлетворяет СССР.

Как видим, СССР оказался довольно ограничивающим, но полное его описание для меня все еще далеко. Соли на рану добавляет тот факт, что у меня никак не получается придумать функцию, удовлетворяющую СССР и отличную от линейной однородной в любой окрестности нуля. Уже и функцию Дирихле привлекал, и пытался "выкалывать" бесконечно малую последовательность из линейной однородной, но все равно какой-нибудь поганый ряд нет-нет да и убивает СССР.

В общем, вопросы у меня такие:

1. Можно ли доказать дифференцируемость (или даже много раз дифференцируемость) в нуле?

2. Если нет, то какой контрпример можно построить? Какой вообще еще нетривиальный пример существует?

3. Ну и вообще что-нибудь еще накопать к тому, что я написал выше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции, сохраняющие сходимость рядов
Сообщение14.09.2017, 23:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Human в сообщении #1247807 писал(а):
3. Степенные функции $x^n,\ n\geqslant2,\ n\in\mathbb{N}$ не удовлетворяют СССР.

Удовлетворяют же, вы чего.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции, сохраняющие сходимость рядов
Сообщение14.09.2017, 23:44 
Аватара пользователя


20/03/12
139
kp9r4d в сообщении #1247809 писал(а):
Human в сообщении #1247807 писал(а):
3. Степенные функции $x^n,\ n\geqslant2,\ n\in\mathbb{N}$ не удовлетворяют СССР.

Удовлетворяют же, вы чего.

А как же $a_k=\frac{(-1)^k}{\sqrt k}$ (для $n=2$)? Аналогичные ряды можно и для других степеней подобрать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции, сохраняющие сходимость рядов
Сообщение14.09.2017, 23:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9090
Цюрих
kp9r4d в сообщении #1247809 писал(а):
Удовлетворяют же, вы чего.
Ну для четного $n$ ряд $\frac{(-1)^k}{\sqrt[n]{k}}$ подходит как контрпример.

Вообще кажется для абсолютной и условной сходимости ситуации будут сильно разные. Для абсолютной достаточно, чтобы $f$ убывала в нуле не медленнее чем линейно (и скорее всего необходимо).

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции, сохраняющие сходимость рядов
Сообщение14.09.2017, 23:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
А, извиняюсь, условные не люблю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции, сохраняющие сходимость рядов
Сообщение14.09.2017, 23:53 
Заслуженный участник


20/04/10
1867
Human в сообщении #1247811 писал(а):
Аналогичные ряды можно и для других степеней подобрать.

для нечетных степеней нельзя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции, сохраняющие сходимость рядов
Сообщение15.09.2017, 00:02 
Аватара пользователя


20/03/12
139
lel0lel в сообщении #1247817 писал(а):
для нечетных степеней нельзя.

$a_k=\cfrac{\cos\frac{2\pi k}3}{\sqrt[3]k}$ для $n=3$. Для других аналогично.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции, сохраняющие сходимость рядов
Сообщение15.09.2017, 00:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
10056
Human в сообщении #1247807 писал(а):
если ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ сходится, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty}f(a_n)$ тоже сходится
Я бы тогда выбрал какую-нибудь функцию со свойством
$$ \begin{cases}
0 \leqslant f(x) \leqslant x, \ x>0\\
x \leqslant f(x) \leqslant 0, \ x < 0
\end{cases}$$
Арктангенс с каким-нить коэффициентом не подойдёт?

___________________Upd______________________________


Разумеется, это противоречит Вашему
Human в сообщении #1247807 писал(а):
4. Как следствие предыдущего, если $f$ удовлетворяет СССР и имеет в нуле $n\geqslant3$ производных, то $f^{(k)}(0)=0,\ 2\leqslant k\leqslant n-1$.
но я не уверен, что оно доказано верно. С другой стороны, какой смысл искать
Human в сообщении #1247807 писал(а):
функцию, удовлетворяющую СССР и отличную от линейной однородной в любой окрестности нуля.
если 4. всё-таки истинно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции, сохраняющие сходимость рядов
Сообщение15.09.2017, 00:19 
Заслуженный участник


20/04/10
1867
Human в сообщении #1247821 писал(а):
$a_k=\cfrac{\cos\frac{2\pi k}3}{\sqrt[3]k}$ для $n=3$. Для других аналогично.

Действительно, поспешил с заключением.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции, сохраняющие сходимость рядов
Сообщение15.09.2017, 00:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9090
Цюрих
$f$ как минимум нечетная должна быть. Потому что иначе выбираем последовательность $x_n \to 0, x_n > 0$ такую что $\frac{f(x_n)}{-f(-x_n)} \neq 1$ и берем ряд $x_1 - x_1 + x_1 - x_1 + x_2 - x_2 + \ldots$, где каждый член повторяется столько раз, чтобы после применения $f$ к этому участку получалось что-то, отделенное от нуля.

-- 15.09.2017, 00:41 --

Dan B-Yallay в сообщении #1247823 писал(а):
Арктангенс с каким-нить коэффициентом не подойдёт?
Не понимаю, куда вставлять коэффициент, но сам арктангенс не подойдет.
Строим ряд таким образом: $k$-й сегмент состоит из $k^3$ минисигментов $\frac{1}{k}, \frac{-1}{k^3}, \ldots, \frac{-1}{k^4}$ ($k^3$ штук $\frac{-1}{k^4}$).
Арктангенс это превращает в $\frac{1}{k} - \frac{1}{3k^3}+ o\left(\frac{1}{k^4}\right), -\frac{1}{k^4} + o\left(\frac{1}{k^7}\right), \ldots$ - что оставляет от каждого минисигмента $-\frac{1}{3k^3} + o\left(\frac{1}{k^4}\right)$. И каждый сегмент соответственно оставляет $\frac{1}{3} + o(1)$.

Вроде бы аналогичная конструкция проходит для любого разложения до второй и выше степени.
Dan B-Yallay в сообщении #1247823 писал(а):
С другой стороны, какой смысл искать Human в сообщении #1247807

писал(а):
функцию, удовлетворяющую СССР и отличную от линейной однородной в любой окрестности нуля. если 4. всё-таки истинно.
Ну бывают недостаточно гладкие функции:)

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции, сохраняющие сходимость рядов
Сообщение15.09.2017, 00:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
10056
mihaild в сообщении #1247829 писал(а):
Не понимаю, куда вставлять коэффициент, но сам арктангенс не подойдет.
помножить арктангенс на коэффициент, чтобы выполнялось
Dan B-Yallay в сообщении #1247823 писал(а):
$$ \begin{cases}
0 \leqslant f(x) \leqslant x, \ x>0\\
x \leqslant f(x) \leqslant 0, \ x < 0
\end{cases}$$


Конструкцию с (мини)сегмeнтами не понял, попробую позже разобраться.

-- Чт сен 14, 2017 15:58:43 --

Dan B-Yallay в сообщении #1247838 писал(а):
помножить арктангенс на коэффициент, чтобы выполнялось
Оно же вроде и так выполняется? :facepalm:

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции, сохраняющие сходимость рядов
Сообщение15.09.2017, 01:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Теорема 2.6 отсюда

https://projecteuclid.org/euclid.rae/1339694101

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции, сохраняющие сходимость рядов
Сообщение15.09.2017, 10:52 
Аватара пользователя


20/03/12
139
g______d
Огромное спасибо, это именно то, что нужно! Только на мой вопрос отвечает не теорема 2.6, а теорема A:

A function $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ belongs to $F^{(cp)}$ if and only if there are $a\in\mathbb{R}$ and $\delta>0$ such that for each $x\in(-\delta,\delta)$ we have $f(x)=ax$.

Другими словами, как я и предполагал, кроме линейной однородной функции никаких других удовлетворяющих СССР функций нет. Осталось только найти доказательство этой теоремы, но с этим, думаю, я и сам справлюсь.

Еще раз спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group