Помогите плз с задачами... готовлюсь к экзамену..

[kimon]

Готовлюсь к экзамену, кое где возникло непонимание решения некоторых примеров.. Помогите пожалуйста решить эти задачки, очень хочу быть уверен в правильности мысли, т.е. чтобы был хороший образец, на который можно бы было равняться:

1) Выяснить имеет ли данное векторное поле F потенциал и найти его, если он существует.
F=(yz-2x)i+(xz+2y)j+(xy)k i,j,k - векторы.

2) Вычислить поток векторного поля F через поверхность s, в направлении нормаль n.
F=(2x-z)i+(y-x)j+(x+2z)k s: x-y+z-2=0

3) Найти div F, rot F
F=(y^2z)i-(xy)j-(z^2)k

4)Найти скорость изменения скалярного поля U=ln^4(xy-3z) в точке М(1;1;1) в направлении к точке N(1;2;3).

[Brukvalub]

kimon писал(а):

Помогите пожалуйста решить эти задачки, очень хочу быть уверен в правильности мысли

Ну, так и излагайте свои мысли, а мы проверим их правильность

kimon писал(а):

т.е. чтобы был хороший образец, на который можно бы было равняться:

Начните сами, а мы поможем создать безупречный образец

[kimon]

Brukvalub писал(а):

Ну, так и излагайте свои мысли, а мы проверим их правильность :

ок, вот что нарешал:

1). Проверка rotF=0:
rot\vec{F}=\left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac {d} {dx} & \frac {d} {dy} & \frac {d} {dz} \\ yz-2x & xz+2y & xy \end{matrix} \right| = \vec{i}(\frac {d(xy)} {dy} - \frac {d(xz+2y)} {dz}) - \vec{j}(\frac {d(yz-2x)} {dz} - \frac {d(xy)} {dx}) + \vec{k}(\frac {d(xz+2y)} {dx} - \frac {d(yz-2x)} {dy}) = (0;0;0)

U=\int_{0}^{x}{-2xdx}+\int_{0}^{y}{2ydy}+\int_{0}^{z}{xydz}+C = -2\frac {x^2} {2} + 2\frac {y^2} {2}+ xyz = -x^2+y^2+xyz+C

[Brukvalub]

Второй член при вычислении ротора поставлен с неверным знаком, в определителе есть очепятка. Потенциал найден странным способом, но ответ - верный

[kimon]

3 пример:
divF=y^2z\vec{i}-xy\vec{j}-z^2\vec{k} div\vec{F}=\frac {d(y^2z)} {dx} - \frac {d(xy)} {dy} - \frac {d(z^2)} {dz} = 0-x-2z=-x-2z /////// rot F= i (\frac {d(-z^2)} {dy} - \frac {d(-xy)} {dz}) - j( \frac {d(y^2z)} {dz} - \frac {d(-z^2)} {dx}) + k( \frac {d(-xy)} {dx} - \frac {d(y^2z)} {dy})= (0;-y^2;-y-2yz)

Добавлено спустя 2 минуты 19 секунд:

Brukvalub писал(а):

Второй член при вычислении ротора поставлен с неверным знаком, в определителе есть очепятка. Потенциал найден странным способом, но ответ - верный

второй член, это -J чтоли?

[Brukvalub]

Ротор найден неверно, да и в записи его вычисления не хватает скобок.

Добавлено спустя 1 минуту 16 секунд:

kimon писал(а):

второй член, это -J чтоли?

Да,это компонента вектора при j.

[kimon]

2 и 4 пример не так и не смог решить, т.к. нет нормального алгоритма решения в методичке =(

[Brukvalub]

2) делайте, пользуясь определением потока, в 4) ищите производную по направлению.

[kimon]

Так, давайте разберемся.. т.е. правильная формула для вычисления ротора i(xx-yy)+j(zz-cc)+k(aa-ll) так?, т.е. все плюсы.

А что неправильно в вычислении ротора в 3й задаче?

>>2) делайте, пользуясь определением потока, в 4) ищите производную по направлению.

а есть ли у вас на примете где можно примерчик решения посмотреть? =)

по 3-й задаче: нашел производные уравнения по x,y,z, но подставляя значения точек в получившиеся производные(там ln есть) под логарифмом получаются отрицательные числа...

[Brukvalub]

kimon писал(а):

А что неправильно в вычислении ротора в 3й задаче?

Вы получаете неверный знак второй компоненты.
Вот ресурсы, в которых разъясняется нужный Вам материал:
http://elib.ispu.ru/library/math/sem2/kiselev2/node69.html
http://dvoika.net/education/kuznecov/index8.shtml

[kimon]

по 4й задаче: я впринципе понял что надо делать, но у меня вот что получается:
dU/dx = (4ln^3(xy-3z)y)/(xy-3z)
dU/dy = (4ln^3(xy-3z)x)/(xy-3z)
dU/dz = (-12ln^3(xy-3z))/(xy-3z)


Т.е. если я начну подставлять свои координаты М(1;1;1) и N(1;2;3), то под знаком логорифма получается отрицательное число.. Что в этом случае делать?

[Brukvalub]

Вы правы - 4-я задача составлена неверно, поскольку в требуемой точке скалярное поле не определено.

[kimon]

решил 2ю задачу, проверьте пожалуйста:

F=(2x-z)i+(y+x)j+(x+2z)k
S: x-y+z-2=0

Нашел пределы интегрирования:
0<=x<=2
x-2<=y<=0
0<=z<=2-x+y

Решаю интеграл:
\int\int\int_{V}{(2+1+2)dxdydz} =

5\int_{0}^{2}{dx}\int_{x-2}^{0}{dy} \int_{0}^{2-x+y}{dz} = 20/3

[Brukvalub]

Ничего не понял В Вашей задаче поверхность - это вся плоскость! Так не бывает...

[kimon]

Brukvalub писал(а):

Ничего не понял В Вашей задаче поверхность - это вся плоскость! Так не бывает...

а как же быть тогда? подскажите пожалуйста... У нас методички отвратительные... ничего в них нет...