Аксиоматика теории вероятностей.

[Xaositect]

Anton_Peplov
Я так понимаю, речь про $\mathbb{R}$, там чуток сложнее.

[Anton_Peplov]

Не понял. Что там чуток сложнее? $[a - 1, a] \cap [a, a + 1] = \{a\}$.

[Xaositect]

А, да, туплю. Но интервалы в русскоязычной литературе обычно открытые, замкнутые называются отрезками.

[Atmosfera]

Благодарю! Ответ оказался проще, чем я думал, вижу необходимость в закрытии пробелов в этой части прежде чем переходить к сл. главам книги. Можете посоветовать литературу, поясняющие, желательно наглядно, с самых азов? Был бы очень Вам признателен.

[Anton_Peplov]

Ну так отрезки тоже борелевские. $[a, b] = (a - 1, b + 1) \setminus ((a - 1, a) \cup (b, b + 1))$. А доказав, что отрезки борелевские, легко доказать, что борелевские и точки.

То, что $\{a\}$ - пересечение всех интервалов $(a - \varepsilon, a + \varepsilon)$ , где $\varepsilon$ пробегает все положительные рациональные, коих счетное множество - это тоже, конечно, верно, но, по-моему, куда менее интуитивно понятно новичку, чем манипуляции с двумя-тремя множествами. Бесконечность вообще вещь скользкая, с ней надо уметь обращаться.

[RIP]

(Оффтоп)

"Я бы даже сказал", что одноточечное множество — это просто вырожденный отрезок: $\{a\}=[a,a]=(a-1,a+1)\setminus\bigl((a-1,a)\cup(a,a+1)\bigr)$.

[Anton_Peplov]

(Оффтоп)

Тоже верно. Можно объявлять конкурс на самое естественное доказательство того, что одноточечное множество - борелевское:) На самом деле, конечно, все они просты и естественны.

[XYZ321]

А может кто-нибудь на пальцах объяснить, зачем нужна аксиома непрерывности? Что именно сломается, если ее выкинуть?

[Otta]

XYZ321
Традиционно, непрерывность вероятности не включается в перечень аксиом (хотя бывает всякое, конечно).
В числе аксиом - счетная аддитивность вероятности и условие нормировки (вероятность достоверного события - единица).
Непрерывность отсюда следует. Однако, можно оставив вторую аксиому, заменить первую, счетную аддитивность, на непрерывность. Получится эквивалентная аксиоматика.

Надеюсь, понятно, что сломается.

[novo]

Подскажите, пожалуйста, на интуитивном примере, почему для дальнейших построений в теории вероятности для алгебры необходима счетность содержащихся в ней подмножеств? Возможно это связано с необходимостью исключения иррациональных чисел из области определения?

Мне кажется, что, объясняя примитивно, свойство дробной части иррационального числа непредсказуемо изменяться без какой-либо закономерности как раз делает невозможным объединять подмножества. А это обязательное условие для аксиоматики тервера.

Прошу сильно не бить ибо только начинающий самоучка.

[Someone]

novo в сообщении #1247565 писал(а):

для дальнейших построений

Для каких "дальнейших"?

novo в сообщении #1247565 писал(а):

для алгебры необходима счетность содержащихся в ней подмножеств

С чего Вы взяли? И о чём вообще говорите?

[novo]

Дальнейшие построения - использование аксиоматики в теории вероятностей.

Имелась в виду сигма алгебра.

[Mikhail_K]

novo в сообщении #1247589 писал(а):

Имелась в виду сигма алгебра.

Ну, напишите здесь определение сигма-алгебры. Подмножества в ней вовсе не обязаны быть счётными.

[realeugene]

А как быть с неполнотой борелевской меры? В теореме Фату, например, для неполных мер не гарантируется измеримость предельной функции. Да и в теореме Фубини в учебнике Боровкова измеримость сечений измеримых по Борелю множеств доказывается специально, когда в теории меры в условии этой теоремы есть оговорка про полноту меры. Насколько патологичны те случаи, когда с вероятностной мерой нельзя обращаться как с лебеговой? Понятно, что всегда можно пополнить вероятностное пространство по Лебегу, но это, ведь, уже будет иное вероятностное пространство, отличное от исходного?

[novo]

Mikhail_K в сообщении #1247591 писал(а):

novo в сообщении #1247589 писал(а):

Имелась в виду сигма алгебра.

Ну, напишите здесь определение сигма-алгебры. Подмножества в ней вовсе не обязаны быть счётными.

Мне нужно намного глубже погружаться в вопрос - это я осознал.

Вопрос возник в связи прочтением вот этого: "В теории вероятностей часто возникает необходимость объединять счётные наборы событий и считать событием результат такого объединения. При этом свойства (A3) алгебры оказывается недостаточно: из него не вытекает, что объединение счётной последовательности множеств из алгебры снова принадлежит алгебре. Поэтому разумно наложить более суровые ограничения на класс событий".

Источник: http://www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tv/lec/node9.html