Гомотопия

[function]

В книге В. В. Прасолова <<Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии>> при доказательстве того, что индуцированный накрытием $p:\tilde{X}\to X$ гомоморфизм $p_{\ast}:\pi_1(\tilde{X},\tilde{x_0})\to\pi_1(X,x_0)$ --- мономорфизм, рассматривается поднятие $\tilde{\omega}(s,t_0)$.

Цитата:

Ясно, что $p\tilde{\omega}(s,t)=\omega(s,t)$, и $\tilde{\omega}(s,0)=\tilde{\omega}(s,1)=\tilde{x_0}$. Поэтому если $\tilde{\omega}(s,t)$ непрерывно зависит от $t$, то $\tilde{\gamma}_s(t)=\tilde{\omega}(s,t)$ --- гомотопия, связывающая $\tilde{\gamma_0}$ и $\tilde{\gamma_1}$.

Непонятно, почему для непрерывности $\tilde{\omega}$ достаточно доказать непрерывность по $t$.

[Narn]

Во-первых, непрерывность можно проверять по каждому аргументу отдельно. Во-вторых, непрерывность по $s$ у нас есть автоматически, потому что мы определили $\tilde\omega(s,t_0)$ как поднятие пути при фиксированном $t_0$. Поэтому нас только непрерывность по $t$ и интересует.

Я не нашел процитированного вами места в варианте книги на сайте МЦНМО https://www.mccme.ru/free-books/prasolov/topol.pdf
На странице 48 там доказывается то, что вам нужно, в примерно тех же обозначениях, я исхожу из этого текста.

[function]

Narn в сообщении #1246014 писал(а):

Во-первых, непрерывность можно проверять по каждому аргументу отдельно.

На самом деле нет: $f(x,y)=\begin{cases} \cfrac{2xy}{x^{2}+y^{2}},\,x^{2}+y^{2}\neq0,\\ 0. \end{cases}$

[Narn]

Это я очень здорово ошибся, да. Пора назад на первый курс.

[Slav-27]

function
Вы совершенно правы: непрерывность нужна по обеим переменным (а не по каждой отдельно). Конструкция там, по-видимому, правильная. Ну а доказательство непрерывности попробуйте доделать сами, возможно, там что-то упущено. (Ничего принципиально нового по сравнению с поднятием путей там не должно быть. Даже если поднимается гомотопия не обязательно путей, а какая угодно.) Если уж совсем никак -- пишите, где конкретно проблемы...

Кстати, если вы верите, что для хороших пространств $Z^{X\times Y}=(Z^X)^Y$ (экспоненциальный закон), то можете свести дело к поднятию путей, и будет вообще всё просто. ($X^Y$ -- пространство непрерывных отображений из $Y$ в $X$).