Открытое множество

[MMyaf]

Является ли открытым в пространстве

$$C[a, b]$$

множество

$$\{f \in C[a, b]: 0 <f(x)<1, для любых x \in [a, b]\}$$

?

[AD]

Пользуйтесь тем, что всякая положительная непрерывная функция на самом деле даже отделена от нуля.

[MMyaf]

Не совсем понятно что означает непререрывная функция отделена от нуля?

[Бодигрим]

В смысле $\inf f(x)>0$

[AD]

Ну да, я имею ввиду, что если $f\in C[a,b]$ и $f(x)>0$ при всех $x\in[a,b]$, то $\exists \delta>0$: $f(x)>\delta$.

[MMyaf]

По определению множество А наз-ся открытым в проcтранстве X, если для любого

$$x \in A$$

существует открытый шар

$$B(x, r) \subset A$$

. Пусть

$$f_1(t) \in M = \{f \in C[a, b], 0 < f(x) < 1, x \in [a, b]\}$$

. Теперь необходимо доказать, что существует

$$B(f_1(t),r) \subset M$$

. Поскольку

$$1 > f_1(x) > 0$$

, то при

$$x \in [a, b], \exists \delta_1 > 0, \delta_2 > 0: f_1(x) > \delta_1, f_1(x)+\delta_2 < 1$$

. Следовательно

$$r= \min \{\delta_1,\delta_2\}$$

.
Разобрался. Спасибо всем.

[Someone]

MMyaf писал(а):

По определению множество А наз-ся открытым в проcтранстве X, если для любого

$$x \in A$$

существует открытый шар

$$B(x, r) \subset A$$

. Пусть

$$f_1(t) \in M = \{f \in C[a, b], 0 < f(x) < 1, x \in [a, b]\}$$

. Теперь необходимо доказать, что существует

$$B(f_1(t),r) \subset M$$

. Поскольку

$$1 > f_1(x) > 0$$

, то при

$$x \in [a, b], \exists \delta_1 > 0, \delta_2 > 0: f_1(x) > \delta_1, f_1(x)+\delta_2 < 1$$

. Следовательно

$$r= \min \{\delta_1,\delta_2\}$$

.
Разобрался. Спасибо всем.

"Маленькая" поправка: $\exists\delta_1>0\exists\delta_2>0\forall x\in[a,b]\ldots$. Порядок следования кванторов важен.

[MMyaf]

Someone писал(а):

Порядок следования кванторов важен.

Согласен.

Someone писал(а):

"Маленькая" поправка.

Не вижу почему мой вариант записи не верен с точки зрения логики решения.

MMyaf писал(а):

$\forall x\in[a,b]\exists\delta_1>0,\delta_2>0$

Someone писал(а):

$\exists\delta_1>0,\delta_2>0\forall x\in[a,b]$

[Brukvalub]

MMyaf писал(а):

MMyaf писал(а):

$\forall x\in[a,b]\exists\delta_1>0,\delta_2>0$


Someone писал(а):

$\exists\delta_1>0,\delta_2>0\forall x\in[a,b]$

Ваша, MMyaf, запись может означать, что числа $\delta_1>0,\delta_2>0$ для разных значений х могут быть разными, а из записи Someone видно, что они одинаковы для всех х.

[MMyaf]

Действительно, это я попустил. Brukvalub,Someone, большое вам спасибо.