2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Открытое множество
Сообщение05.06.2008, 16:42 
Является ли открытым в пространстве $$C[a, b]$$ множество $$\{f \in C[a, b]: 0 <f(x)<1, для любых x \in [a, b]\}$$?

 
 
 
 
Сообщение05.06.2008, 16:45 
Пользуйтесь тем, что всякая положительная непрерывная функция на самом деле даже отделена от нуля.

 
 
 
 
Сообщение05.06.2008, 16:52 
Не совсем понятно что означает непререрывная функция отделена от нуля?

 
 
 
 
Сообщение05.06.2008, 16:58 
Аватара пользователя
В смысле $\inf f(x)>0$

 
 
 
 
Сообщение05.06.2008, 17:02 
Ну да, я имею ввиду, что если $f\in C[a,b]$ и $f(x)>0$ при всех $x\in[a,b]$, то $\exists \delta>0$: $f(x)>\delta$.

 
 
 
 
Сообщение05.06.2008, 17:34 
По определению множество А наз-ся открытым в проcтранстве X, если для любого $$x \in A$$ существует открытый шар $$B(x, r) \subset A$$. Пусть $$f_1(t) \in M = \{f \in C[a, b], 0 < f(x) < 1, x \in [a, b]\}$$. Теперь необходимо доказать, что существует $$B(f_1(t),r) \subset M$$. Поскольку $$1 > f_1(x) > 0$$, то при $$x \in [a, b], \exists \delta_1 > 0, \delta_2 > 0: f_1(x) > \delta_1, f_1(x)+\delta_2 < 1$$. Следовательно $$r= \min \{\delta_1,\delta_2\}$$.
Разобрался. Спасибо всем.

 
 
 
 
Сообщение05.06.2008, 17:38 
Аватара пользователя
MMyaf писал(а):
По определению множество А наз-ся открытым в проcтранстве X, если для любого $$x \in A$$ существует открытый шар $$B(x, r) \subset A$$. Пусть $$f_1(t) \in M = \{f \in C[a, b], 0 < f(x) < 1, x \in [a, b]\}$$. Теперь необходимо доказать, что существует $$B(f_1(t),r) \subset M$$. Поскольку $$1 > f_1(x) > 0$$, то при $$x \in [a, b], \exists \delta_1 > 0, \delta_2 > 0: f_1(x) > \delta_1, f_1(x)+\delta_2 < 1$$. Следовательно $$r= \min \{\delta_1,\delta_2\}$$.
Разобрался. Спасибо всем.


"Маленькая" поправка: $\exists\delta_1>0\exists\delta_2>0\forall x\in[a,b]\ldots$. Порядок следования кванторов важен.

 
 
 
 
Сообщение05.06.2008, 18:00 
Someone писал(а):
Порядок следования кванторов важен.


Согласен.

Someone писал(а):
"Маленькая" поправка.


Не вижу почему мой вариант записи не верен с точки зрения логики решения.

MMyaf писал(а):
$\forall x\in[a,b]\exists\delta_1>0,\delta_2>0$


Someone писал(а):
$\exists\delta_1>0,\delta_2>0\forall x\in[a,b]$

 
 
 
 
Сообщение05.06.2008, 18:10 
Аватара пользователя
MMyaf писал(а):
MMyaf писал(а):

$\forall x\in[a,b]\exists\delta_1>0,\delta_2>0$


Someone писал(а):

$\exists\delta_1>0,\delta_2>0\forall x\in[a,b]$

Ваша, MMyaf, запись может означать, что числа $\delta_1>0,\delta_2>0$ для разных значений х могут быть разными, а из записи Someone видно, что они одинаковы для всех х.

 
 
 
 
Сообщение05.06.2008, 18:52 
Действительно, это я попустил. Brukvalub,Someone, большое вам спасибо.

 
 
 [ Сообщений: 10 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group