Доказательство теоремы Кантора некорректно 3

[Мастак]

Sender в сообщении #1245534 писал(а):

Мастак в сообщении #1245530 писал(а):

Другие доказательства теоремы Кантора ПОКА также "грешат" неконструктивностями,
лишь как бы пряча и глубоко зарывая её.

Эм, брюки превращаются, вы уверены, что речь в первом и последнем сообщениях темы идёт об одной и той же теореме?

PS Бесконечные последовательности $a_i$ нулей и единиц $a_{ij}$ (в первом посте топика) - это модель множества всех подмножеств некоторого бесконечного множества $A$ из элементов $a^j$, где$ a_{ij} = 0$, если элемент $a^j$ не входит в подмножество $ i$, $a_{ij} = 1$, если элемент $a^j$ входит в подмножество $i$.[/quote]

[Someone]

Мастак в сообщении #1245530 писал(а):

Аксио́ма вы́бора

Где в доказательстве теоремы Кантора упоминается аксиома выбора?

Мастак в сообщении #1245530 писал(а):

Аксиома выбора принимается не всеми математиками безоговорочно

Укажите конкретного современного математика, отвергающего аксиому выбора. На конструктивистов прошу не ссылаться: в конструктивной математике аксиома выбора верна (в соответствующей формулировке).

Мастак в сообщении #1245530 писал(а):

утверждается лишь существование множества B, но не дается никакого способа его определения – отсюда неэффективность в случае бесконечных множеств

"Неэффективность" аксиомы выбора точно такая же, как у построения, начинающегося словами "Пусть $A$ — непустое множество. Возьмём любой элемент $a\in A$…" Не больше и не меньше.

Мастак в сообщении #1245530 писал(а):

Более того, среди следствий аксиомы выбора есть много довольно специфичных: например, появляется возможность доказать парадокс Банаха—Тарского, который вряд ли можно считать «очевидным».

Во-первых, "парадокс" Банаха — Тарского, с точки зрения математики, вовсе не парадокс, так как не содержит никакого противоречия. Во-вторых, нафиг нужна математика, которая может доказывать только очевидные утверждения?

Мастак в сообщении #1245010 писал(а):

Так это определение "заранее и полностью" $\beta_i = 1 - \alpha_{ii}$
выполняется через бесконечное число бесконечных по своей природе объектов,
заранее нам неизвестных и данных нам буквально за миг перед осуществлением "доказательства" с разрешением только как-попало пронумеровать эти объекты. То есть нам дано сразу и полностью бесконечное количество каких-то бесконечных объектов $a_i$ и мы должны проверить есть ли среди них бесконечный объект $\beta$, НО процесс проверки завершить не можем, так как мы сравниваем один бесконечный объект с другим бесконечным объектом.

Нет там никакого "процесса проверки".

Мастак в сообщении #1245010 писал(а):

с разрешением только как-попало пронумеровать эти объекты

Враньё. Нет там никакого "разрешения", задаётся сразу пронумерованный список. После чего определяется диагональная последовательность. Вся сразу, без каких-либо "процессов". И сразу для всех элементов списка доказывается, что никакой из них не совпадает с диагональной последовательностью. Тоже без каких-либо "процессов".

[arseniiv]

А Куратовского—Мостовского ТСу уже советовали когда-то в древности?

[Deggial]

Мастак, замечание за неправильное оформление цитаты: скриншоты Википедии делать не нужно, достаточно было просто процитировать или дать ссылку на страницу.

[Мастак]

Xaositect в сообщении #1245536 писал(а):

Аксиома выбора и аксиома выделения это совершенно разные аксиомы. Аксиомы выделения: для любого множества $A$ и свойства $P$ существует подмножество $A$, состоящее из всех элементов, удовлетворяющих свойству $P$. В отличие от аксиомы выбора, аксиома выделения обычно принимается неограниченно.

Ответьте все-таки на мои конкретные вопросы, чтобы определить, где у нас различия в аксиоматике (везде подразумеваются последовательности и последовательности последовательностей из нулей и единиц):
1. Если дана последовательность последовательностей $\alpha$, всегда ли существует последовательность $\delta$ такая, что $\delta_i = \alpha_{ii}$?
2. Если дана последовательность $\delta$, всегда ли существует последовательность $\beta$ такая, что $\beta_i = 1 - \delta_i$?
3. Для указанных в вопросе 2 двух последовательностей $\delta$ и $\beta$ и конкретного числа $i$, является ли следующий текст доказательством $\delta_i \neq \beta_i$: "По определению $\beta$ имеем $\beta_{i} = 1 - \delta_i \neq \delta_i$?"
4. Если для двух последовательностей $\alpha$ и $\beta$ указан конкретный индекс $i$ и доказано, что $\alpha_i \neq \beta_i$, верно ли, что $\alpha \neq \beta$?
5. Если дана последовательность последовательностей $\alpha$ и последовательность $\beta$, и существует процедура (не использующая внутри бесконечных последовательностей, а использующая только одно конечное число, которое подается на вход), которая для любого индекса $i$ выдает индекс $j(i)$ и доказательство того, что $\alpha_{i, j(i)} \neq \beta_{j(i)}$, то верно ли, что $\alpha_i \neq \beta$ для любого $i$?

Вот, имхо, только в отношении пункта 5 пишу ответ "не согласен".
То есть задаются последовательности $\alpha$, определяемые как "все возможные последовательности", и одну из этих последовательностей НАЗЫВАЕМ $\beta$. Для контрастности назовем эту, одну из последовательностей $\gamma$. И начинаем, не больше и не меньше, искать $\gamma$ среди $\alpha$, причем заранее ПРЕДИКАТИВНО (то есть на конечных объектах или через конечные объекты, о которых есть вся необходимая информация) не определив $\gamma$, лишь задавая $\gamma$ процедурно и нерекурсивно так, чтобы при каком-то условном УПОРЯДОЧЕНИИ, причем не определяя само упорядочение, выполнялось УСЛОВИЕ ПОИСКА $\alpha_{i, j} \neq \gamma_{j}$ (то есть в $i$-ой последовательности из неупорядоченного множества последовательностей $\alpha$ в нашем неопределенном упорядочении $j$-ый элемент $\alpha_i$ не равен $j$-ому элементу $\gamma$). То есть задали такие условия поиска, по которым заведомо ничего не найдем, причем останова поиска с результатом "ничего не найдено" не будет, так как последовательности бесконечны.

Как бы задали "пойди туда, не зная куда, принеси то, не зная что" - и если ничего не принес,
то не получишь принцессу в жены. Но сказочный персонаж всё таки побывал "неизвестно где" и принес "неизвестно что", то есть никто не мог понять, что это он принес. 8^)

-- Пн сен 11, 2017 09:10:53 --

Deggial в сообщении #1246818 писал(а):

Мастак, замечание за неправильное оформление цитаты: скриншоты Википедии делать не нужно, достаточно было просто процитировать или дать ссылку на страницу.

Замечание принимаю и согласен.
Но считаю нужным заметить, что в данном топике предполагается тщательно и щепетильно
анализировать формы выражений в текстах, а не только общие смыслы контекстов.

[Xaositect]

Это для меня странно: 5 это просто конструктивная интерпретация квантора всеобщности, навешенного на 4. То есть, если имеется условие 5, то Вы всегда можете провернуть 4 для каждого конкретного $i$ чисто механически.
Но раз уж у Вас такая аксиоматика, то с ней. наверно, можно как-то жить. Но тогда у меня вопрос, а какие способы доказательства универсального утверждения Вы признаете? Как можно доказать, что для любой нумерации множества всех последовательностей выполняется какое-то условие?

Мастак в сообщении #1246914 писал(а):

То есть задали такие условия поиска, по которым заведомо ничего не найдем, причем останова поиска с результатом "ничего не найдено" не будет, так как последовательности бесконечны.

Ну так я ведь не зря говорю, что машина выдаст нам доказательство того, что мы найдем различие на позиции $j$

[atlakatl]

Мастак в сообщении #1244957 писал(а):

В "доказательстве" составляется последовательность $\beta$ так, чтобы $ \beta_k, где k=0..i, $ на $i$-ом шаге выборки-рассмотрения не встречались в верхней части таблицы, НО это вовсе не означает, что вся последовательности $\beta$ не существует в нижней, по предположению тоже пронумерованной части, которую еще только не успели рассмотреть

Чтобы заключить в кавычки доказательство, принимаемое мировым сообществом математиков уже два века, нужны веские доводы.
В данном же случае Вы ничем не лучше ферматиста или опровергателя СТО, - назовите отличие.
Попробую свой довод предложить, вроде, его не упоминали.
Итак, некоторое число $\alpha_x$, закопанное под стопкой ещё не проверенных чисел, полностью повторило число $\beta$. В какой мере повторило? Оно имеет те же цифры и довольно ждёт, когда ж можно сравниться друг с другом и опровергнуть тезис о несчётности. Только вот беда: однажды $\beta$ доберётся до $\alpha_x$, увидит, что они близнецы-братья, и нагло изменит свою х-ю цифру на обратную. И пойдёт дальше.

[Мастак]

Someone в сообщении #1245635 писал(а):

Мастак в сообщении #1245530 писал(а):

Аксио́ма вы́бора

Где в доказательстве теоремы Кантора упоминается аксиома выбора?

Мастак в сообщении #1245530 писал(а):

утверждается лишь существование множества B, но не дается никакого способа его определения – отсюда неэффективность в случае бесконечных множеств

"Неэффективность" аксиомы выбора точно такая же, как у построения, начинающегося словами "Пусть $A$ — непустое множество. Возьмём любой элемент $a\in A$…" Не больше и не меньше.

Аксиома выбора: "Для всякого семейства непустых множеств существует функция, которая каждому множеству семейства сопоставляет один из элементов этого множества".
PS Для многих (не всех) бесконечных множеств это утверждение доказать невозможно, и
поэтому оно предлагается в качестве аксиомы.
PS Есть другие формулировки аксиомы выбора, например, "Для каждого семейства непустых непересекающихся множеств существует множество , которое имеет только один общий элемент с каждым множеством , принадлежащим семейству", "Каждое множество может быть вполне упорядочено" и другие.

В рассматриваемом доказательстве теоремы Кантора (в данной формулировке)
делается предположение:
"Предположим, что существует множество $A$, равномощное множеству всех своих подмножеств $2^A$, то есть, что существует такая биекция$ f$, ставящая в соответствие каждому элементу множества $A$ некоторое подмножество множества A.", где существование биекции f неочевидно, но может быть принято на основании, так сказать, признания аксиомы выбора.

Someone в сообщении #1245635 писал(а):

Мастак в сообщении #1245010 писал(а):

с разрешением только как-попало пронумеровать эти объекты

Враньё. Нет там никакого "разрешения", задаётся сразу пронумерованный список. После чего определяется диагональная последовательность. Вся сразу, без каких-либо "процессов". И сразу для всех элементов списка доказывается, что никакой из них не совпадает с диагональной последовательностью. Тоже без каких-либо "процессов".

Чтобы что-то пронумеровать, надо сперва как-то упорядочить то, что собираемся пронумеровать, иначе нумеруем без указания порядка, то есть "как попало", не имея никакой
информации о том, что находится под какими-то номерами (то есть нет никакой зависимости или
функции от номера в какие-то свойства объекта нумерации).

-- Пн сен 11, 2017 10:50:44 --

arseniiv в сообщении #1245640 писал(а):

А Куратовского—Мостовского ТСу уже советовали когда-то в древности?

Спасибо. Читал бегло, то есть как бы (тоже) "диагонально". 8^)

Аналогично могу и Вам порекомендовать, например, "П. Мартин-Леф Очерки по конструктивной
математике", которую, хм, сам неделю назад бегло посмотрел. В интернет-библиотеках есть сканы книги, например, http://bookfi.net/book/1332833
PS В частности, в книжке на нескольких страницах в связи с парадоксом Ришара рассматривается применение "диагонального метода" при доказательствах некоторых формулировок теоремы Кантора. "Диагональный метод" в книжке принимается лишь условно (при эффективной перечислимости, на конструктивных точках и пр.).

PS Имхо, конструктивизм порой "зашкаливает" и "заносит", но это альтернативная и достаточно обоснованная система мнений и представлений.

[Someone]

Мастак в сообщении #1246924 писал(а):

В рассматриваемом доказательстве теоремы Кантора (в данной формулировке)
делается предположение:
"Предположим, что существует множество $A$, равномощное множеству всех своих подмножеств $2^A$, то есть, что существует такая биекция$ f$, ставящая в соответствие каждому элементу множества $A$ некоторое подмножество множества A.", где существование биекции f неочевидно, но может быть принято на основании, так сказать, признания аксиомы выбора.

Где здесь аксиома выбора? Или Вы воображаете, что вот это

Someone в сообщении #1245635 писал(а):

"Пусть $A$ — непустое множество. Возьмём любой элемент $a\in A$…"

тоже использует аксиому выбора? Это неверно. Здесь используется определение непустого множества: $A\neq\varnothing\Leftrightarrow\exists a(a\in A)$. Формально использование этого определения может выглядеть, например, так: $A\neq\varnothing\Rightarrow\exists a(a\in A\wedge(\ldots))$, где вместо многоточия пишем то, что нам надо.

Рассуждение из доказательства теоремы Кантора имеет такой же вид: равномощность множеств $A$ и $2^A$ по определению означает, что множество биекций множества $A$ на $2^A$ не пусто, то есть, по определению непустого множества, существует биекция $f\colon A\to 2^A$. И дальше делаем с этой биекцией всё, что нам нужно.
На самом деле доказывается более сильное утверждение, чем отсутствие биекции: любое отображение $f\colon A\to 2^A$ не является сюръекцией.

Мастак в сообщении #1246924 писал(а):

Чтобы что-то пронумеровать, надо сперва как-то упорядочить то, что собираемся пронумеровать, иначе нумеруем без указания порядка, то есть "как попало", не имея никакой
информации о том, что находится под какими-то номерами (то есть нет никакой зависимости или
функции от номера в какие-то свойства объекта нумерации).

Вы говорите о доказательстве несчётности множества последовательностей? Извините, это какая-то бессмыслица. Фактически, Вы здесь написали, что для того, чтобы множество пронумеровать, оно уже должно быть пронумеровано. К тому же, в доказательстве теоремы Кантора ничего "нумеровать" не надо, тем более, что мы хотим доказать, что пронумеровать нельзя. Если множество последовательностей счётно, то нумерация существует по определению счётного множества. С этой нумерацией, которая существует, мы делаем всё, что нам нужно. Мы можем это сделать, так как нам на самом деле не нужно знать ничего конкретного об этой нумерации.

Мастак в сообщении #1246924 писал(а):

Читал бегло, то есть как бы (тоже) "диагонально".

Очень плохо. Книга требует обстоятельного изучения. К тому же, там все случаи использования аксиомы выбора указаны явно. В частности, теорема Кантора доказывается в § 3 главы V (теоремы 1 и 2). Никакой аксиомы выбора там нет.

Мастак в сообщении #1246924 писал(а):

Аналогично могу и Вам порекомендовать, например, "П. Мартин-Леф Очерки по конструктивной
математике", которую, хм, сам неделю назад бегло посмотрел.

Спасибо, я в своё время обстоятельно изучил книгу Б. А. Кушнера "Лекции по конструктивному математическому анализу", а также ещё кое что. К теореме Кантора это не имеет никакого отношения. К тому же, аналог теоремы Кантора существует и в конструктивистских теориях (терминология там, правда, другая; например, вместо "несчётности" речь идёт о "неперечислимости").

Мастак в сообщении #1246924 писал(а):

"Диагональный метод" в книжке принимается лишь условно (при эффективной перечислимости, на конструктивных точках и пр.).

Само собой разумеется, что в конструктивистских доказательствах всё делается "конструктивно". Правда, существует множество пониманий "конструктивности", вовсе не эквивалентных друг другу, и, соответственно, множество направлений конструктивизма, также вовсе не эквивалентных друг другу.

[arseniiv]

Мастак в сообщении #1246924 писал(а):

Аналогично могу и Вам порекомендовать, например, "П. Мартин-Леф Очерки по конструктивной
математике", которую, хм, сам неделю назад бегло посмотрел. В интернет-библиотеках есть сканы книги, например, http://bookfi.net/book/1332833
PS В частности, в книжке на нескольких страницах в связи с парадоксом Ришара рассматривается применение "диагонального метода" при доказательствах некоторых формулировок теоремы Кантора. "Диагональный метод" в книжке принимается лишь условно (при эффективной перечислимости, на конструктивных точках и пр.).

PS Имхо, конструктивизм порой "зашкаливает" и "заносит", но это альтернативная и достаточно обоснованная система мнений и представлений.

Боюсь, погружаться в конструктивизм до разбирательства с классической теорией — идея плохая. Конструктивные теории сложнее классической, это примерно как СТО в сравнении с галилеевской механикой в физике.

[Мастак]

Someone в сообщении #1246941 писал(а):

Мастак в сообщении #1246924 писал(а):

В рассматриваемом доказательстве теоремы Кантора (в данной формулировке)
делается предположение:
"Предположим, что существует множество $A$, равномощное множеству всех своих подмножеств $2^A$, то есть, что существует такая биекция$ f$, ставящая в соответствие каждому элементу множества $A$ некоторое подмножество множества A.", где существование биекции f неочевидно, но может быть принято на основании, так сказать, признания аксиомы выбора.

Где здесь аксиома выбора? Или Вы воображаете, что вот это

Someone в сообщении #1245635 писал(а):

"Пусть $A$ — непустое множество. Возьмём любой элемент $a\in A$…"

тоже использует аксиому выбора? Это неверно. Здесь используется определение непустого множества: $A\neq\varnothing\Leftrightarrow\exists a(a\in A)$. Формально использование этого определения может выглядеть, например, так: $A\neq\varnothing\Rightarrow\exists a(a\in A\wedge(\ldots))$, где вместо многоточия пишем то, что нам надо.

Рассуждение из доказательства теоремы Кантора имеет такой же вид: равномощность множеств $A$ и $2^A$ по определению означает, что множество биекций множества $A$ на $2^A$ не пусто, то есть, по определению непустого множества, существует биекция $f\colon A\to 2^A$. И дальше делаем с этой биекцией всё, что нам нужно.
На самом деле доказывается более сильное утверждение, чем отсутствие биекции: любое отображение $f\colon A\to 2^A$ не является сюръекцией.

Вот возьмем наиболее близкую к контексту формулировку аксиомы выбора:
Функция выбора — функция $f $на множестве множеств $X$ такая, что для каждого множества $S$, каждого элемента $s \in S$, в $X$, $f(s)$ является элементом из $S$.
С использованием понятия функции выбора аксиома утверждает:
Для любого семейства непустых множеств $X$ существует функция выбора$ f$, определённая на $X$.

В предположении доказательства подразумевают, что для некоторого множества $A $ каким-то способом уже смогли составить множество всех подмножеств множества $2^A$, и смогли определить на $2^A$ некоторую функцию$ f$, которую далее используют для составления некоторого множества $B$.
Вопрос в том, а существуют ли вообще такие функции, определенные на бесконечных (и
любых других всяких) множествах, и какие допустимы манипуляции с такими функциями, а
не обладание какими-то свойствами одной из возможных таких функций? И если сослаться на аксиому выбора, выразив согласие с ней, возможно дать положительный обоснованный ответ на этот вопрос. А в доказательстве наверно таки подразумевается привлечение аксиомы, так как упомянули аксиому выделения, что в свою очередь подразумевает согласие с системами аксиом, в которую входит аксиома выделения. Так же?
Вот ведь в доказательстве же после предположения о существовании функции$ f$ далее рассматривается множество $B$, которое строится с использованием $f$, как функции, имеющей образы из элементов из множеств-дополнений к образам функции выбора.

Цитата:

Рассмотрим множество $B$, состоящее из всех элементов $A$, не принадлежащих своим образам при отображении $f$ (оно существует по аксиоме выделения): ...

PS Аксиомы же призваны установить согласие (или как говорил генсек тов. М.С.Горбачев - консенсус :^)) о каких-то неоднозначных представлениях о рассматриваемых объектах и о потенциальных возможностях оперирования рассматриваемыми объектами.

Someone в сообщении #1246941 писал(а):

Мастак в сообщении #1246924 писал(а):

Чтобы что-то пронумеровать, надо сперва как-то упорядочить то, что собираемся пронумеровать, иначе нумеруем без указания порядка, то есть "как попало", не имея никакой информации о том, что находится под какими-то номерами (то есть нет никакой зависимости или функции от номера в какие-то свойства объекта нумерации).

Вы говорите о доказательстве несчётности множества последовательностей? Извините, это какая-то бессмыслица. Фактически, Вы здесь написали, что для того, чтобы множество пронумеровать, оно уже должно быть пронумеровано. К тому же, в доказательстве теоремы Кантора ничего "нумеровать" не надо, тем более, что мы хотим доказать, что пронумеровать нельзя. Если множество последовательностей счётно, то нумерация существует по определению счётного множества. С этой нумерацией, которая существует, мы делаем всё, что нам нужно. Мы можем это сделать, так как нам на самом деле не нужно знать ничего конкретного об этой нумерации.

Так вопрос в том - какая нумерация, или, другими словами, какая упорядоченность. То есть, не определили - какая из возможных нумераций.
Вот даже возможно же доказать, что "Множество всех нумераций счетного множества несчетно".

А вот в отношении того, что можно и что нельзя делать с нумерациями, приведу
цитату-описание одного "парадокса" (http://www.e-reading.club/bookreader.ph ... _smes.html), который отчасти "зарыт" в доказательствах теоремы Кантора (о несчетности) "диагональным методом", когда "не обнаруживаем чего-то", а точнее делаем вывод, что нет чего-то там, где оно должно быть:

Цитата:

Шары, занумерованные числами 1, 2, ... (для математика - сами эти числа), кладутся в ящик следующим образом. За одну минуту до полудня кладутся числа от 1 до 10, и число 1 вынимается обратно. За 1/2 минуты до полудня кладутся числа от 11 до 20, и число 2 вынимается обратно. За 1/3 минуты до полудня кладутся числа от 21 до 30, и число 3 вынимается обратно, и т. д. Сколько чисел останется в ящике в полдень? Ответ: ни одного. Какое бы число мы ни назвали, например 106, оно отсутствует в ящике, так как оно вынимается при 106-й операции.

-- Пт сен 15, 2017 15:13:26 --

arseniiv писал(а):

Конструктивные теории сложнее классической, это примерно как СТО в сравнении с галилеевской механикой в физике.

Едва ли резонно какое-то сравнение сложности "конструктивистских" и "классических" подходов. Имхо, сложности бывают разной природы, а интересными по сложности бывают рассматриваемые объекты, а разные теории, подходящие для рассмотрения таких объектов, по-разному описывают одно и тоже, и если что-то упрощают, то что-то неизбежно усложняют.
А для практических целей - выбирается наиболее подходящая теория, сложности которой
наиболее приемлемы.

В отношение вопросов, которые затрагивает СТО, предпочитаю альтернативную (надеюсь, пока,
до поры, когда СТО станет альтернативной) Баллистическая (или Эмиссионную) теорию Ритца (причем одногруппника же Эйнштейна), где, имхо, всё становится здравым, что выглядит странным в "признанных": электродинамике Максвелла, СТО, квантовой теории.
PS Сложность задач любой механики также ведь не связана с теорией, через призму которой
рассматривают задачи механики.

[gefest_md]

Мастак в сообщении #1244957 писал(а):

А если не получится, то, значит, и конструктивно доказать таким способом невозможно.

Предложение. Если существует пересчёт некоторого бесконечного множества $X$ бесконечных последовательностей нулей и единиц, тогда существует бесконечная последовательность нулей и единиц $\beta$, не принадлежащая $X$.

1. Пусть существует пересчёт некоторого бесконечного множества $X$ бесконечных последовательностей нулей и единиц: $\alpha(1),\ \alpha(2),\ \dots\ $.

2. Задаём последовательность $\beta$: $\beta(i)=1-\alpha(i)(i)$, для любого $i\in\mathbb{N}$. (на бесконечности $\beta$ не останавливаюсь).

3. Предположим, что $\beta\in X$. Тогда для некоторого $k\in\mathbb{N}$, $\beta=\alpha(k)$, т.е. по равенству функций $\beta(k)=\alpha(k)(k)$. Но с другой стороны, по пункту 2 $\beta(k)=1-\alpha(k)(k)$. Значит $\alpha(k)(k)=1-\alpha(k)(k)$ и ... $0=1$. Противоречие. Следовательно $\beta\notin X$.

Есть чего-то неконструктивного в моих рассуждениях? По-моему нет.

[atlakatl]

gefest_md
Я уже предлагал этот вариант доказательства. Его ТС проигнорировал.

[Someone]

Мастак в сообщении #1247937 писал(а):

Функция выбора — функция $f $на множестве множеств $X$ такая, что для каждого множества $S$, каждого элемента $s \in S$, в $X$, $f(s)$ является элементом из $S$.

Извините, это какой-то совершенно невнятный бред. Вы не могли разобраться в совершенно элементарном определении функции выбора?

Мастак в сообщении #1247937 писал(а):

Вот возьмем наиболее близкую к контексту формулировку аксиомы выбора:

Ну, мне формулировка аксиомы выбора с функцией выбора тоже нравится. Она, на мой взгляд, наиболее естественная среди множества эквивалентных формулировок. Однако это совершенно не важно. На самом деле, в данный момент также совершенно не важно, используется аксиома выбора в доказательстве теоремы Кантора или нет. Это сто лет назад могли спорить, допустимо использование аксиомы выбора или нет. А сейчас, если где-то аксиома выбора нужна, ей пользуются, обычно даже не упоминая. Подавляющее большинство математиков в своей работе настолько далеки от теории множеств, что вообще не вникают в то, какими аксиомами они пользуются. Для них достаточно того, что они когда-то краем уха слышали, что существует такая теория множеств, как ZFC, в которой формализуются те математические методы, которыми они всю жизнь пользуются. И они могут даже не уметь распознавать использование аксиомы выбора (по себе знаю, что этому надо учиться). Вот и Вы тоже не умеете определять, применяется в каком-то рассуждении аксиома выбора или нет. Она Вам мерещится там, где она даже и рядом не пробегала.

Мастак в сообщении #1247937 писал(а):

В предположении доказательства подразумевают, что для некоторого множества $A $ каким-то способом уже смогли составить множество всех подмножеств множества $2^A$, и смогли определить на $2^A$ некоторую функцию$ f$, которую далее используют для составления некоторого множества $B$.

Снова какая-то невнятная бредятина. По-моему, Вы вообще ничего в доказательстве теоремы Кантора не поняли и несёте совершеннейшую чушь. Нам не надо "составлять множество всех подмножеств множества $2^A$", тем более, что оно в доказательстве даже не упоминается. Множество $2^A$ нам тоже "составлять каким-то способом" не надо, поскольку оно существует по аксиоме степени. И определять "некоторую функцию $f$ на множестве $2^A$" не требуется, поскольку в доказательстве речь идёт совсем о другой функции, которую тоже составлять не требуется, ибо она предполагается заданной. Цель рассуждения состоит в доказательстве того, что эта функция не является сюръекцией.

Мастак в сообщении #1247937 писал(а):

А в доказательстве наверно таки подразумевается привлечение аксиомы, так как упомянули аксиому выделения, что в свою очередь подразумевает согласие с системами аксиом, в которую входит аксиома выделения. Так же?

А Вы хотите что-то доказать, не используя вообще ничего? Это невозможно. Неизбежно требуются какие-то исходные предположения, которые принимаются без доказательств, в качестве аксиом. Упоминание аксиомы выделения, тем не менее, не означает, что в доказательстве используется аксиома выбора.
Аксиома выбора нужна в том случае, если требуется выбор для бесконечного семейства непустых множеств. К конечному семейству (в частности, к семейству, состоящему из одного множества) аксиому выбора формально применить можно (и она даст функцию выбора), но не нужно, как я уже объяснял ранее. В доказательстве теоремы Кантора именно этот случай: нужно выбрать одну нумерацию (если доказваем несчётность) или одно взаимно однозначное соответствие (в общем случае).

Мастак в сообщении #1247937 писал(а):

Вот ведь в доказательстве же после предположения о существовании функции$ f$ далее рассматривается множество $B$, которое строится с использованием $f$, как функции, имеющей образы из элементов из множеств-дополнений к образам функции выбора.

Очередная бредятина. Функция $f$, о которой идёт речь, не является функцией выбора. И нигде в доказательстве теоремы Кантора функция выбора не встречается вообще.

http://dxdy.ru/post413407.html#p413407 и далее.

В общем, ввиду вашей злокачественной безграмотности в теории множеств, обсуждать с Вами доказательство теоремы Кантора совершенно бессмысленно.

Мастак в сообщении #1247937 писал(а):

А вот в отношении того, что можно и что нельзя делать с нумерациями, приведу
цитату-описание одного "парадокса"

Ну, это широко известный "парадокс". Он у нас тут обсуждался. Некоторым кажется противоречащим здравому смыслу, что шаров становится всё больше и больше, а в пределе оказывается, что их не остаётся ни одного. Ну так здравый смысл, основанный на бытовом опыте, очень плохо работает в науке. Не только в математике.

(Мастак)

Мастак в сообщении #1247937 писал(а):

В отношение вопросов, которые затрагивает СТО, предпочитаю альтернативную (надеюсь, пока,
до поры, когда СТО станет альтернативной) Баллистическая (или Эмиссионную) теорию Ритца

Не надейтесь. Теория Ритца во всех вариантах давно похоронена как противоречащая ряду экспериментов. Сейчас у сторонников этих теорий главная задача — доказать, что баллистический эффект есть, но его принципиально невозможно наблюдать.
Вот таблица, показывающая экспериментальный статус ряда теорий, конкурировавших в прошлом с СТО, включая теорию Ритца в разных вариантах:
Пановский, Филипс. Классическая электродинамика - М., 1963. - С. 262.
Продолжать обсуждение СТО в этой теме не следует.

[Мастак]

gefest_md в сообщении #1247980 писал(а):

Мастак в сообщении #1244957 писал(а):

А если не получится, то, значит, и конструктивно доказать таким способом невозможно.

Предложение. Если существует пересчёт некоторого бесконечного множества $X$ бесконечных последовательностей нулей и единиц, тогда существует бесконечная последовательность нулей и единиц $\beta$, не принадлежащая $X$.

1. Пусть существует пересчёт некоторого бесконечного множества $X$ бесконечных последовательностей нулей и единиц: $\alpha(1),\ \alpha(2),\ \dots\ $.

2. Задаём последовательность $\beta$: $\beta(i)=1-\alpha(i)(i)$, для любого $i\in\mathbb{N}$. (на бесконечности $\beta$ не останавливаюсь).

3. Предположим, что $\beta\in X$. Тогда для некоторого $k\in\mathbb{N}$, $\beta=\alpha(k)$, т.е. по равенству функций $\beta(k)=\alpha(k)(k)$. Но с другой стороны, по пункту 2 $\beta(k)=1-\alpha(k)(k)$. Значит $\alpha(k)(k)=1-\alpha(k)(k)$ и ... $0=1$. Противоречие. Следовательно $\beta\notin X$.

Есть чего-то неконструктивного в моих рассуждениях? По-моему нет.

Вот Вы намерены как бы "конструктивно", то есть только на основе слов с конкретным смыслом,
знаков с конкретными значениями и при использовании конкретных конструкций с этими
словами и знаками, обойти заложенный парадокс, возникающий из-за некорректности модели объекта, рассматриваемого в доказательстве?

Причем вот в таком доказательстве ведь "просматривается" упоминаемая выше функция выбора (, которая фигурирует во многих формулировках аксиомы выбора), задаваемая в пункте 2, то есть $i$-ый элемент последовательности $\beta$ есть некоторая функция от $i$-го элемента $i$-ой (по номеру) последовательности из пронумерованного набора последовательностей $\alpha$, то есть $\beta_i = f(a_{ii})$. А бесконечные последовательности из 0 и 1 есть модель множества всех подмножеств некоторого бесконечного множества из элементов $a_k$, где каждая последовательность $a_l = a_{l1}, a_{l2}, ..., a_{ll}, ...$, а $a_{nm} = 1$ если $m$-ый элемент входит в $n$-ое по номеру подмножество$ n$, и $a_{nm} = 0$, если m-ый элемент не входит в n-ое подмножество. А это и есть функция выбора на подмножестве множества всех подмножеств со значением в этом подмножестве.

Цитата:

Функция выбора — функция на множестве множеств $X$ такая, что для каждого множества $s$ в $X$, $f(s)$ является элементом из $s$.
С использованием понятия функции выбора аксиома утверждает:
Для любого семейства непустых множеств $X $ существует функция выбора $f$, определённая на $X$.

Ведь $\beta$ входит во множество всех возможных последовательностей из 0 и 1, в "пересчёт некоторого бесконечного множества $X$ бесконечных последовательностей нулей и единиц: $\alpha(1),\ \alpha(2),\ \dots\ $".

И если мы принимаем-признаем аксиому выбора, а ведь мы по умолчанию признали аксиому выбора, признав возможность построить $\beta$, то доказывать существование $\beta$ уже не надо. А если мы не признаем аксиому выбора, то должны тогда непосредственно вычислять-строить каждый элемент $\beta$, с каким производим какие-то операции, либо еще как-то обосновать возможность выполнять какие-то манипуляции с чем-то, что мы еще не построили, ведь существование этого мы еще не доказали (, а приняли
как предположение в доказательстве) и не приняли это существование как аксиому.

PS О том, что если искать что-то такое, какое в чем-то другое при сравнение с любым из всего,
что есть, то ничего никогда не найдем, уже было написано. :^)

Что неладно в таком рассуждении с логикой и семантикой?