Движение точки в R^3

[scwec]

Точка единичной массы движется в $\mathbb{R}^3$ с декартовыми координатами $x,y,z$ под действием силы с потенциальной функцией $U=x^3+y^3+z^3-3xyz$.
Найдите первый интеграл уранений движения точки, независимый от интеграла энергии $T-U$, где $T$ кинетическая энергия точки.

[scwec]

Поставлю задачу в несколько более общем виде (координаты $x,y,z$ переобозначаются как $q^1,q^2,q^3$).
Докажите, что если потенциальная функция $U(q^1,q^2,q^3)$ является первым интегралом
для некоторого векторного поля $X=\sum{a_i^j}{q^i}\frac{\partial}{\partial{q^j}}$ на $\mathbb{R}^3$, где $a_i^j=-a_j^i$=\operatorname{const} ,то
гамильтонова система на фазовом пространстве ($T^\ast\mathbb{R}^3$) с гамильтонианом $H=1/2(p_1^2+p_2^2+p_3^2)\pm{U(q^1,q^2,q^3)}$
(где $p_1,p_2,p_3$ - импульсы), имеет дополнительный первый интеграл независимый от $H$.

После доказательства этого утверждения, для решения исходной задачи остается найти подходящее векторное поле $X$ на $\mathbb{R}^3$,
для которого потенциальная функция $U$ из первого сообщения является первым интегралом.

[lel0lel]

Обобщённый импульс является интегралом движения $\frac{(y-z) \dot{x}+(z-x) \dot{y}+(x-y) \dot{z}}{(x-y) (x-z) (y-z)}=\text{Const}$

[scwec]

lel0lel в сообщении #1246458 писал(а):

Обобщённый импульс является интегралом движения $\frac{(y-z) \dot{x}+(z-x) \dot{y}+(x-y) \dot{z}}{(x-y) (x-z) (y-z)}=\text{Const}$

С числителем все в порядке, а знаменатель здесь лишний. Таким образом, приведенное выражение не является первым интегралом уравнений движения точки из первого поста.
lel0lel, проверьте Ваши вычисления ещё раз.

[pogulyat_vyshel]

scwec в сообщении #1246240 писал(а):

Поставлю задачу в несколько более общем виде (координаты $x,y,z$ переобозначаются как $q^1,q^2,q^3$).
Докажите, что если потенциальная функция $U(q^1,q^2,q^3)$ является первым интегралом
для некоторого векторного поля $X=\sum{a_i^j}{q^i}\frac{\partial}{\partial{q^j}}$ на $\mathbb{R}^3$, где $a_i^j=-a_j^i$=\operatorname{const} ,то
гамильтонова система на фазовом пространстве ($T^\ast\mathbb{R}^3$) с гамильтонианом $H=1/2(p_1^2+p_2^2+p_3^2)\pm{U(q^1,q^2,q^3)}$
(где $p_1,p_2,p_3$ - импульсы), имеет дополнительный первый интеграл независимый от $H$.

После доказательства этого утверждения, для решения исходной задачи остается найти подходящее векторное поле $X$ на $\mathbb{R}^3$,
для которого потенциальная функция $U$ из первого сообщения является первым интегралом.

в конфигурационном пространстве введем цилиндрические координаты с осью вдоль собственного вектора матрицы $a_i^j$, угол этой цилиндрической системы координат должен оказаться циклической координатой гамильтоновой системы

-- 10.09.2017, 14:06 --

на всякий случай скажем $rank (a^i_j)=2$

[scwec]

pogulyat_vyshel, Ваши соображения относительно цилиндрической системы координат и циклической переменной верны.
В инвариантном виде: для полей $X$ указанного вида и квадратичной формы евклидовой метрики $T$ производная Ли $L_X{T}=0$.
Кроме того по условию $X(U)=0$. Далее теорема Нётер и существование линейного по скоростям первого интеграла у уравнений движения.

Что касается исходного вопроса. Воспользуемся тем, что $U=x^3+y^3+z^3-3xyz=1/2(x+y+z)((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2)$
Сразу видно, что выражения в первой и второй скобках, а, следовательно, $U$ являются первыми интегралами поля
$X=(y-z)\frac{\partial}{\partial{x}}+(z-x)\frac{\partial}{\partial{y}}+(x-y)\frac{\partial}{\partial{z}}$ (линейное поле с кососимметрической матрицей).
Отсюда первый интеграл уравнений Лагранжа $F=(y-z)\dot x+(z-x)\dot y+(x-y)\dot z$
Он же для уравнений Гамильтона $F=(q^2-q^3)p_1+(q^3-q^1)p_2+(q^1-q^2)p_3$

Докажите, что этот же первый интеграл имеется у системы уравнений движения трех точек единичной массы по прямой, взаимодействующих между собой с потенциалом $U=(x-y)^4+(y-z)^4+(z-x)^4$.

[pogulyat_vyshel]

ну, положим, линейный-то интеграл найти, это в любом случае не проблема

[scwec]

pogulyat_vyshel в сообщении #1246794 писал(а):

ну, положим, линейный-то интеграл найти, это в любом случае не проблема

Согласен, но имелось в виду, что задачу с 4 степенями и линейным интегралом можно решить используя тождество
$(x-y)^4+(y-z)^4+(z-x)^4=1/2((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2)^2$, что как-то оживляет пейзаж.