2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Движение точки в R^3
Сообщение04.09.2017, 16:52 
Заслуженный участник


17/09/10
2143
Точка единичной массы движется в $\mathbb{R}^3$ с декартовыми координатами $x,y,z$ под действием силы с потенциальной функцией $U=x^3+y^3+z^3-3xyz$.
Найдите первый интеграл уранений движения точки, независимый от интеграла энергии $T-U$, где $T$ кинетическая энергия точки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение точки в R^3
Сообщение08.09.2017, 18:51 
Заслуженный участник


17/09/10
2143
Поставлю задачу в несколько более общем виде (координаты $x,y,z$ переобозначаются как $q^1,q^2,q^3$).
Докажите, что если потенциальная функция $U(q^1,q^2,q^3)$ является первым интегралом
для некоторого векторного поля $X=\sum{a_i^j}{q^i}\frac{\partial}{\partial{q^j}}$ на $\mathbb{R}^3$, где $a_i^j=-a_j^i$=\operatorname{const} ,то
гамильтонова система на фазовом пространстве ($T^\ast\mathbb{R}^3$) с гамильтонианом $H=1/2(p_1^2+p_2^2+p_3^2)\pm{U(q^1,q^2,q^3)}$
(где $p_1,p_2,p_3$ - импульсы), имеет дополнительный первый интеграл независимый от $H$.

После доказательства этого утверждения, для решения исходной задачи остается найти подходящее векторное поле $X$ на $\mathbb{R}^3$,
для которого потенциальная функция $U$ из первого сообщения является первым интегралом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение точки в R^3
Сообщение09.09.2017, 17:22 
Заслуженный участник


20/04/10
1877
Обобщённый импульс является интегралом движения $\frac{(y-z) \dot{x}+(z-x) \dot{y}+(x-y) \dot{z}}{(x-y) (x-z) (y-z)}=\text{Const}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение точки в R^3
Сообщение10.09.2017, 09:01 
Заслуженный участник


17/09/10
2143
lel0lel в сообщении #1246458 писал(а):
Обобщённый импульс является интегралом движения $\frac{(y-z) \dot{x}+(z-x) \dot{y}+(x-y) \dot{z}}{(x-y) (x-z) (y-z)}=\text{Const}$

С числителем все в порядке, а знаменатель здесь лишний. Таким образом, приведенное выражение не является первым интегралом уравнений движения точки из первого поста.
lel0lel, проверьте Ваши вычисления ещё раз.

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение точки в R^3
Сообщение10.09.2017, 12:45 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
scwec в сообщении #1246240 писал(а):
Поставлю задачу в несколько более общем виде (координаты $x,y,z$ переобозначаются как $q^1,q^2,q^3$).
Докажите, что если потенциальная функция $U(q^1,q^2,q^3)$ является первым интегралом
для некоторого векторного поля $X=\sum{a_i^j}{q^i}\frac{\partial}{\partial{q^j}}$ на $\mathbb{R}^3$, где $a_i^j=-a_j^i$=\operatorname{const} ,то
гамильтонова система на фазовом пространстве ($T^\ast\mathbb{R}^3$) с гамильтонианом $H=1/2(p_1^2+p_2^2+p_3^2)\pm{U(q^1,q^2,q^3)}$
(где $p_1,p_2,p_3$ - импульсы), имеет дополнительный первый интеграл независимый от $H$.

После доказательства этого утверждения, для решения исходной задачи остается найти подходящее векторное поле $X$ на $\mathbb{R}^3$,
для которого потенциальная функция $U$ из первого сообщения является первым интегралом.

в конфигурационном пространстве введем цилиндрические координаты с осью вдоль собственного вектора матрицы $a_i^j$, угол этой цилиндрической системы координат должен оказаться циклической координатой гамильтоновой системы

-- 10.09.2017, 14:06 --

на всякий случай скажем $rank (a^i_j)=2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение точки в R^3
Сообщение10.09.2017, 17:55 
Заслуженный участник


17/09/10
2143
pogulyat_vyshel, Ваши соображения относительно цилиндрической системы координат и циклической переменной верны.
В инвариантном виде: для полей $X$ указанного вида и квадратичной формы евклидовой метрики $T$ производная Ли $L_X{T}=0$.
Кроме того по условию $X(U)=0$. Далее теорема Нётер и существование линейного по скоростям первого интеграла у уравнений движения.

Что касается исходного вопроса. Воспользуемся тем, что $U=x^3+y^3+z^3-3xyz=1/2(x+y+z)((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2)$
Сразу видно, что выражения в первой и второй скобках, а, следовательно, $U$ являются первыми интегралами поля
$X=(y-z)\frac{\partial}{\partial{x}}+(z-x)\frac{\partial}{\partial{y}}+(x-y)\frac{\partial}{\partial{z}}$ (линейное поле с кососимметрической матрицей).
Отсюда первый интеграл уравнений Лагранжа $F=(y-z)\dot x+(z-x)\dot y+(x-y)\dot z$
Он же для уравнений Гамильтона $F=(q^2-q^3)p_1+(q^3-q^1)p_2+(q^1-q^2)p_3$

Докажите, что этот же первый интеграл имеется у системы уравнений движения трех точек единичной массы по прямой, взаимодействующих между собой с потенциалом $U=(x-y)^4+(y-z)^4+(z-x)^4$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение точки в R^3
Сообщение10.09.2017, 20:20 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
ну, положим, линейный-то интеграл найти, это в любом случае не проблема

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение точки в R^3
Сообщение10.09.2017, 21:38 
Заслуженный участник


17/09/10
2143
pogulyat_vyshel в сообщении #1246794 писал(а):
ну, положим, линейный-то интеграл найти, это в любом случае не проблема

Согласен, но имелось в виду, что задачу с 4 степенями и линейным интегралом можно решить используя тождество
$(x-y)^4+(y-z)^4+(z-x)^4=1/2((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2)^2$, что как-то оживляет пейзаж.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group