Пять простых чисел среди последовательных натуральных

[Markiyan Hirnyk]

Существуют ли 1000 последовательных натуральных чисел $n, n+1, \dots, n+999$, среди которых ровно 5 простых чисел?

[DanilovV]

Существуют. Т.к существует 1000 последовательных натуральных чисел $n, n+1, \dots, n+999$, среди которых нет простых чисел.

[Markiyan Hirnyk]

Пожалуйста, докажите. Утверждение

Цитата:

Т.к существует 1000 последовательных натуральных чисел $n, n+1, \dots, n+999$, среди которых нет простых чисел.

мне понятно - положим $n=1001! +2$. Дальше мне неясно.

[DanilovV]

Идем с этого интервала в начало числовой оси. Кол-во простых когда нибудь станет равно 5. Так кол-во простых увеличивается/уменьшается только на 1. Если их количество было 1001, то могло увеличится сразу на 2, с 4 до 6. А так нет. ( В первой тысяче их больше ста ).

[Markiyan Hirnyk]

Понял. Спасибо.

[grizzly]

Секундочку, а я не понял.

DanilovV в сообщении #1246679 писал(а):

Если их количество было 1001, то могло увеличится сразу на 2

Вот это что значит? (за вычетом этого решение нормальное).

[DanilovV]

grizzly в сообщении #1246683 писал(а):

Секундочку, а я не понял.

DanilovV в сообщении #1246679 писал(а):

Если их количество было 1001, то могло увеличится сразу на 2

Вот это что значит? (за вычетом этого решение нормальное).

Когда на концах разные по четности числа, кол-во простых изменяется только на единицу. Когда одной четности то при сдвиге тоже на 1. Но снаскока я не смог это обосновать, поэтому осторожно принял и 2. Но в нашем случае не так и не стал ломать голову напрасно.

-- 10.09.2017, 15:08 --

Markiyan Hirnyk в сообщении #1246676 писал(а):

мне понятно - положим $n=1001! +2$.

Есть числа и поменьше. После 49,749,629,143,526 идут 1,131 составных

[Dmitriy40]

Наименьшее решение не меньше $20831323$ (т.к. до этого числа интервалы между простыми не превышают $180$ и потому в тысячу чисел уложится не менее шести простых).

-- 10.09.2017, 17:17 --

А вот и решение (вероятно минимальное т.к. до него разница между минимальным и максимальным последовательными 6-ю простыми числами не превышает $1000$), 5 простых чисел, при этом предыдущее простое ($17104541617591$) дальше чем $1000$ от наибольшего: $17104541617663, 17104541617991, 17104541618293, 17104541618341, 17104541618623$.

-- 10.09.2017, 17:19 --

Пару лет назад я здесь искал и выкладывал диаметры последовательностей простых чисел, вплоть до 100 членов, для простых до $5\cdot10^{13}$. Этот результат взял оттуда (и перепроверил конечно).

[Markiyan Hirnyk]

Dmitriy40 Объясните, пожалуйста, какую задачу вы рассматриваете? Ведь $17104541618623-1704541617663=15400000000960.$
Кстати, согласно Мєйплу,

isprime(1704541617663);
                             false
ifactor(1704541617663);
                   (3) (31) (47) (389966053)

[Dmitriy40]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1246720 писал(а):

Объясните, пожалуйста, какую задачу вы рассматриваете? Ведь $17104541618623-1704541617663=15400000000960.$

Объясняю: Вы опечатались в числе $1704541617663$ пропустив единичку после старших 17.

-- 10.09.2017, 17:59 --

На самом деле я всё чуть ошибся, наименьшее решение будет из первых 5-ти чисел из приведённых 6-ти, а не из последних: $17104541617591, 17104541617663, 17104541617991, 17104541618293, 17104541618341$.

-- 10.09.2017, 18:26 --

Соответственно первый интервал: $n=17104541617574: 17104541617574\ldots17104541618573$, в нём ровно 5 простых.

[Markiyan Hirnyk]

Dmitriy40 в сообщении #1246734 писал(а):

Markiyan Hirnyk в сообщении #1246720 писал(а):

Объясните, пожалуйста, какую задачу вы рассматриваете? Ведь $17104541618623-1704541617663=15400000000960.$

Объясняю: Вы опечатались в числе $1704541617663$ пропустив единичку после старших 17.

-- 10.09.2017, 17:59 --

На самом деле я всё чуть ошибся, наименьшее решение будет из первых 5-ти чисел из приведённых 6-ти, а не из последних: $17104541617591, 17104541617663, 17104541617991, 17104541618293, 17104541618341$.

-- 10.09.2017, 18:26 --

Соответственно первый интервал: $n=17104541617574: 17104541617574\ldots17104541618573$, в нём ровно 5 простых.

Проверка с Мэйплом

17104541618573-17104541617574;
                              999
isprime(17104541618573);
                             false
ifactor(17104541618573);
                      (1765356757) (9689)
nextprime(17104541618573);
                         17104541618623
17104541618623-17104541618573;
                               50
nextprime(17104541618623);
                         17104541618651
17104541618651-17104541618623;
                               28
nextprime(17104541618651);
                         17104541618663
17104541618663-17104541618651;
                               12
nextprime(17104541618663);
                         17104541618669
17104541618669-17104541618663;
                               6
nextprime(17104541618669);
                         17104541618699
17104541618699-17104541618669;
                               30
nextprime(17104541618699);
                         17104541618707
17104541618707-7104541618699;
                         10000000000008

[Dmitriy40]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1246751 писал(а):

Проверка с Мэйплом

И? Что она показала? Снова Ваши опечатки (в последней строке)? Выведите просто 7 последовательных простых чисел начиная с $17104541618573$ и посчитайте интервал между вторым и шестым (он меньше $1000$) и между вторым и седьмым (он больше $1000$) - всё, значит это решение.

? x=17104541617573;forprime(p=x,x+1000,print(p));print(nextprime(x+1000))
17104541617573
17104541617591 \
17104541617663  \
17104541617991   } - 5 простых
17104541618293  /
17104541618341 /
17104541618623

[Markiyan Hirnyk]

Проверка с Мєйплом подтвердила ваш исправленный пример. Моя вина, что счел это понятным и не написал в моем предыдущем сообщении.

[Dmitriy40]

Кстати при небольшом навыке использования вики и вольфрама решение легко находится: берём из вики первое число с интервалом до следующего простого не менее $1000$, это будет число $p=1693182318746371$, идём в вольфрам и проверяем предыдущие простые, видим что их много, уж 5 точно есть, выбираем интервал $p-269\ldots p+730 = 1693182318746102\ldots1693182318747101$ - и это тоже решение, найденное буквально в пару шагов.

[DanilovV]

число $p=1693182318746371$ это число простых до $n=49,749,629,143,526$
Суть не меняется, но решение надо подправить.