2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Пять простых чисел среди последовательных натуральных
Сообщение10.09.2017, 13:46 


11/07/16
801
Существуют ли 1000 последовательных натуральных чисел $n, n+1, \dots, n+999$, среди которых ровно 5 простых чисел?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пять простых чисел среди последовательных натуральных
Сообщение10.09.2017, 14:30 


17/04/15
46
Существуют. Т.к существует 1000 последовательных натуральных чисел $n, n+1, \dots, n+999$, среди которых нет простых чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пять простых чисел среди последовательных натуральных
Сообщение10.09.2017, 14:38 


11/07/16
801
Пожалуйста, докажите. Утверждение
Цитата:
Т.к существует 1000 последовательных натуральных чисел $n, n+1, \dots, n+999$, среди которых нет простых чисел.

мне понятно - положим $n=1001! +2$. Дальше мне неясно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пять простых чисел среди последовательных натуральных
Сообщение10.09.2017, 14:46 


17/04/15
46
Идем с этого интервала в начало числовой оси. Кол-во простых когда нибудь станет равно 5. Так кол-во простых увеличивается/уменьшается только на 1. Если их количество было 1001, то могло увеличится сразу на 2, с 4 до 6. А так нет. ( В первой тысяче их больше ста ).

 Профиль  
                  
 
 Re: Пять простых чисел среди последовательных натуральных
Сообщение10.09.2017, 14:53 


11/07/16
801
Понял. Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пять простых чисел среди последовательных натуральных
Сообщение10.09.2017, 14:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Секундочку, а я не понял.
DanilovV в сообщении #1246679 писал(а):
Если их количество было 1001, то могло увеличится сразу на 2
Вот это что значит? (за вычетом этого решение нормальное).

 Профиль  
                  
 
 Re: Пять простых чисел среди последовательных натуральных
Сообщение10.09.2017, 15:04 


17/04/15
46
grizzly в сообщении #1246683 писал(а):
Секундочку, а я не понял.
DanilovV в сообщении #1246679 писал(а):
Если их количество было 1001, то могло увеличится сразу на 2
Вот это что значит? (за вычетом этого решение нормальное).
Когда на концах разные по четности числа, кол-во простых изменяется только на единицу. Когда одной четности то при сдвиге тоже на 1. Но снаскока я не смог это обосновать, поэтому осторожно принял и 2. Но в нашем случае не так и не стал ломать голову напрасно.

-- 10.09.2017, 15:08 --

Markiyan Hirnyk в сообщении #1246676 писал(а):
мне понятно - положим $n=1001! +2$.
Есть числа и поменьше. После 49,749,629,143,526 идут 1,131 составных

 Профиль  
                  
 
 Re: Пять простых чисел среди последовательных натуральных
Сообщение10.09.2017, 17:02 
Заслуженный участник


20/08/14
11067
Россия, Москва
Наименьшее решение не меньше $20831323$ (т.к. до этого числа интервалы между простыми не превышают $180$ и потому в тысячу чисел уложится не менее шести простых).

-- 10.09.2017, 17:17 --

А вот и решение (вероятно минимальное т.к. до него разница между минимальным и максимальным последовательными 6-ю простыми числами не превышает $1000$), 5 простых чисел, при этом предыдущее простое ($17104541617591$) дальше чем $1000$ от наибольшего: $17104541617663, 17104541617991, 17104541618293, 17104541618341, 17104541618623$.

-- 10.09.2017, 17:19 --

Пару лет назад я здесь искал и выкладывал диаметры последовательностей простых чисел, вплоть до 100 членов, для простых до $5\cdot10^{13}$. Этот результат взял оттуда (и перепроверил конечно).

 Профиль  
                  
 
 Re: Пять простых чисел среди последовательных натуральных
Сообщение10.09.2017, 17:33 


11/07/16
801
Dmitriy40 Объясните, пожалуйста, какую задачу вы рассматриваете? Ведь $17104541618623-1704541617663=15400000000960.$
Кстати, согласно Мєйплу,
Код:
isprime(1704541617663);
                             false
ifactor(1704541617663);
                   (3) (31) (47) (389966053)


 Профиль  
                  
 
 Re: Пять простых чисел среди последовательных натуральных
Сообщение10.09.2017, 17:56 
Заслуженный участник


20/08/14
11067
Россия, Москва
Markiyan Hirnyk в сообщении #1246720 писал(а):
Объясните, пожалуйста, какую задачу вы рассматриваете? Ведь $17104541618623-1704541617663=15400000000960.$
Объясняю: Вы опечатались в числе $1704541617663$ пропустив единичку после старших 17.

-- 10.09.2017, 17:59 --

На самом деле я всё чуть ошибся, наименьшее решение будет из первых 5-ти чисел из приведённых 6-ти, а не из последних: $17104541617591, 17104541617663, 17104541617991, 17104541618293, 17104541618341$.

-- 10.09.2017, 18:26 --

Соответственно первый интервал: $n=17104541617574: 17104541617574\ldots17104541618573$, в нём ровно 5 простых.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пять простых чисел среди последовательных натуральных
Сообщение10.09.2017, 18:44 


11/07/16
801
Dmitriy40 в сообщении #1246734 писал(а):
Markiyan Hirnyk в сообщении #1246720 писал(а):
Объясните, пожалуйста, какую задачу вы рассматриваете? Ведь $17104541618623-1704541617663=15400000000960.$
Объясняю: Вы опечатались в числе $1704541617663$ пропустив единичку после старших 17.

-- 10.09.2017, 17:59 --

На самом деле я всё чуть ошибся, наименьшее решение будет из первых 5-ти чисел из приведённых 6-ти, а не из последних: $17104541617591, 17104541617663, 17104541617991, 17104541618293, 17104541618341$.

-- 10.09.2017, 18:26 --

Соответственно первый интервал: $n=17104541617574: 17104541617574\ldots17104541618573$, в нём ровно 5 простых.

Проверка с Мэйплом
Код:
17104541618573-17104541617574;
                              999
isprime(17104541618573);
                             false
ifactor(17104541618573);
                      (1765356757) (9689)
nextprime(17104541618573);
                         17104541618623
17104541618623-17104541618573;
                               50
nextprime(17104541618623);
                         17104541618651
17104541618651-17104541618623;
                               28
nextprime(17104541618651);
                         17104541618663
17104541618663-17104541618651;
                               12
nextprime(17104541618663);
                         17104541618669
17104541618669-17104541618663;
                               6
nextprime(17104541618669);
                         17104541618699
17104541618699-17104541618669;
                               30
nextprime(17104541618699);
                         17104541618707
17104541618707-7104541618699;
                         10000000000008

 Профиль  
                  
 
 Re: Пять простых чисел среди последовательных натуральных
Сообщение10.09.2017, 18:56 
Заслуженный участник


20/08/14
11067
Россия, Москва
Markiyan Hirnyk в сообщении #1246751 писал(а):
Проверка с Мэйплом
И? Что она показала? Снова Ваши опечатки (в последней строке)? Выведите просто 7 последовательных простых чисел начиная с $17104541618573$ и посчитайте интервал между вторым и шестым (он меньше $1000$) и между вторым и седьмым (он больше $1000$) - всё, значит это решение.
Код:
? x=17104541617573;forprime(p=x,x+1000,print(p));print(nextprime(x+1000))
17104541617573
17104541617591 \
17104541617663  \
17104541617991   } - 5 простых
17104541618293  /
17104541618341 /
17104541618623

 Профиль  
                  
 
 Re: Пять простых чисел среди последовательных натуральных
Сообщение10.09.2017, 18:59 


11/07/16
801
Проверка с Мєйплом подтвердила ваш исправленный пример. Моя вина, что счел это понятным и не написал в моем предыдущем сообщении.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пять простых чисел среди последовательных натуральных
Сообщение10.09.2017, 19:26 
Заслуженный участник


20/08/14
11067
Россия, Москва
Кстати при небольшом навыке использования вики и вольфрама решение легко находится: берём из вики первое число с интервалом до следующего простого не менее $1000$, это будет число $p=1693182318746371$, идём в вольфрам и проверяем предыдущие простые, видим что их много, уж 5 точно есть, выбираем интервал $p-269\ldots p+730 = 1693182318746102\ldots1693182318747101$ - и это тоже решение, найденное буквально в пару шагов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пять простых чисел среди последовательных натуральных
Сообщение10.09.2017, 19:47 


17/04/15
46
число $p=1693182318746371$ это число простых до $n=49,749,629,143,526$
Суть не меняется, но решение надо подправить.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group