2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Счётное множество шестёрок
Сообщение04.09.2017, 15:24 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Шестёрка различных взаимно простых в совокупности целых чисел называется квадратной, если при любом разбиении её на две тройки сумма чисел в одной из троек - точный квадрат.
Докажите, что существует бесконечно много квадратных шестёрок.
(Н. Агаханов, И. Богданов)

Если под целыми числами авторы имели в виду не обязательно положительные числа, то задача решается легко.
Любая шестёрка вида $$(1, -1, 4n^2, -4n^2, 4n^4, -4n^4)$$, где $n$ - целое число, большее 1, удовлетворяет условию задачи.

Однако интуиция подсказывает мне, что должно существовать решение и для натуральных чисел.
Пожалуйста, помогите решить.
Зарангеш благодарю!

 Профиль  
                  
 
 Re: Счётное множество шестёрок
Сообщение04.09.2017, 23:19 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Ой, пардон. Не удовлетворяет, оказывается. Мне тут зампечание сделали:
Цитата:
Нет, не удовлетворяет. $4n^4 + 4n^2 - 1$ и $-4n^4 - 4n^2 + 1$ противоположны по знаку и не квадраты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Счётное множество шестёрок
Сообщение06.09.2017, 09:23 


26/08/11
2068
Ну, например $x,y,z,2x,2y,2z$, где $x,y,z$ - нечетные натуральные. При любом разбиении в одной группе будут хотя бы две нечетные, значит придется решить систему

$\begin{cases} 2x+y+z=4a^2\\x+2y+z=4b^2\\x+y+2z=4c^2\\x+y+z=d^2\end{cases}$

Решение:

$\\x=3a^2-b^2-c^2\\
y=3b^2-c^2-a^2\\
z=3c^2-a^2-b^2
$

где $a^2+b^2+c^2=d^2$

Решение в рациональных:

$\dfrac{16u^2}{(u^2+v^2+1)^2}-1,\;\dfrac{16v^2}{(u^2+v^2+1)^2}-1,\;3-\dfrac{16(u^2+v^2)}{(u^2+v^2+1)^2}$

Ой, еще условия есть, извиняюсь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Счётное множество шестёрок
Сообщение06.09.2017, 13:23 
Заслуженный участник


12/09/10
1547
Shadow, а что смущает в условиях?

 Профиль  
                  
 
 Re: Счётное множество шестёрок
Сообщение06.09.2017, 14:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13437
с Территории
Что это далеко не все возможные разбиения на тройки, например. Выпадет $(2x,x,y):(z,2y,2z)$ - и что тогда?

 Профиль  
                  
 
 Re: Счётное множество шестёрок
Сообщение07.09.2017, 15:05 


26/08/11
2068
Таких шестерок действительно бесконечно много, если постараться будут и положительными. Пример (к сожалению с отрицательном):

$-92492400,14229600,99607200,78262800,156673825,1311958176$

Принцип такой: первые четыре числа такие, что сумма любых трех из них - квадрат.

$a_1=\dfrac 1 3 (a^2+b^2+c^2-2d^2)$

остальные анлогично, меняется место $-2$

Для оставшихся двух решается система:

$\begin{cases} a_1+a_2+n=x_1^2\\a_1+a_2+k=x_2^2\\a_2+a_4+n=y_1^2\\a_2+a_4+k=y_2^2\\a_1+a_4+n=z_1^2\\a_1+a_4+k=z_2^2\end{cases}$

что сводится к нахождении двух нетривиальных решений системы:

$\begin{cases} x^2-y^2=a^2-d^2\\y^2-z^2=d^2-c^2\end{cases}$

из тривиального можно получить нетривиальные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Счётное множество шестёрок
Сообщение09.09.2017, 11:47 


26/08/11
2068
Ну и пример с положительными (а таких будет бесконечно много, даже если зафиксировать $b/a,c/a,d/a$)
Код:
2772279286708634965046957814373566661540281733312347809858577415124344768523906663366823993600
47128747874046794405798282844350633246184789466309912767595816057113861064906413277236007891200
67227772702684397902388726998558991542351832032824434389070502316765360636704736586645481844800
85940657887967683916455692245580566507748733732682782105615899868854687824241106564371543801600
33935301406431178102228895965416209448589054352448133491999547527370046534104210681787588098201
1619511719513615447720717529715575721763442753100606561025763099005779600972624446522159797044800

Большие получились, но особо не старался подбирать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Счётное множество шестёрок
Сообщение09.09.2017, 12:52 


26/08/11
2068
Shadow в сообщении #1245882 писал(а):
Для оставшихся двух решается система:

$\begin{cases} a_1+a_2+n=x_1^2\\a_1+a_2+k=x_2^2\\a_2+a_4+n=y_1^2\\a_2+a_4+k=y_2^2\\a_1+a_4+n=z_1^2\\a_1+a_4+k=z_2^2\end{cases}$

что сводится к нахождении двух нетривиальных решений системы:

$\begin{cases} x^2-y^2=a^2-d^2\\y^2-z^2=d^2-c^2\end{cases}$
Очень тупая ошибка. Надо было

$\begin{cases} a_1+a_2+n=x_1^2\\a_1+a_2+k=x_2^2\\a_1+a_3+n=y_1^2\\a_1+a_3+k=y_2^2\\a_1+a_4+n=z_1^2\\a_1+a_4+k=z_2^2\end{cases}$

И система получиться, если опять не затупил
$\begin{cases} x^2-y^2=b^2-c^2\\x^2-z^2=a^2-c^2\end{cases}$

не вижу тривиальное решение, но можно же подобрать Попробуем.
(предыдущие решения, конечно, не верны).

 Профиль  
                  
 
 Re: Счётное множество шестёрок
Сообщение09.09.2017, 16:01 


26/08/11
2068
Shadow в сообщении #1246407 писал(а):
не вижу тривиальное решение
Уже вижу, условие
$x^2+c^2=y^2+b^2=z^2+a^2$
очень легко выполнимо, дальше арифметика.

 Профиль  
                  
 
 Re: Счётное множество шестёрок
Сообщение09.09.2017, 16:04 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Shadow
Большое спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Счётное множество шестёрок
Сообщение09.09.2017, 21:18 


26/08/11
2068
Не за что, Ktina. Вот теперь верно - проверил
Код:
435400167941653354923562142078544702084304872087431335269894813000000
2800682161354418877616426751748476732326069177211044805249593662000000
3542039204065882698161951480152485279118263959413968430168603749000000
8072554465080383823717935931510315287292787628431835026895887614000000
23686232232205946279980164266876039900853739133396059801997750304407424
2182599056346280793776634154378963191345004956091725796768214204242481

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group