Счётное множество шестёрок

[Ktina]

Шестёрка различных взаимно простых в совокупности целых чисел называется квадратной, если при любом разбиении её на две тройки сумма чисел в одной из троек - точный квадрат.
Докажите, что существует бесконечно много квадратных шестёрок.
(Н. Агаханов, И. Богданов)

Если под целыми числами авторы имели в виду не обязательно положительные числа, то задача решается легко.
Любая шестёрка вида

$$(1, -1, 4n^2, -4n^2, 4n^4, -4n^4)$$

, где $n$ - целое число, большее 1, удовлетворяет условию задачи.

Однако интуиция подсказывает мне, что должно существовать решение и для натуральных чисел.
Пожалуйста, помогите решить.
Зарангеш благодарю!

[Ktina]

Ой, пардон. Не удовлетворяет, оказывается. Мне тут зампечание сделали:

Цитата:

Нет, не удовлетворяет. $4n^4 + 4n^2 - 1$ и $-4n^4 - 4n^2 + 1$ противоположны по знаку и не квадраты.

[Shadow]

Ну, например $x,y,z,2x,2y,2z$, где $x,y,z$ - нечетные натуральные. При любом разбиении в одной группе будут хотя бы две нечетные, значит придется решить систему

$\begin{cases} 2x+y+z=4a^2\\x+2y+z=4b^2\\x+y+2z=4c^2\\x+y+z=d^2\end{cases}$

Решение:

$\\x=3a^2-b^2-c^2\\ y=3b^2-c^2-a^2\\ z=3c^2-a^2-b^2 $

где $a^2+b^2+c^2=d^2$

Решение в рациональных:

$\dfrac{16u^2}{(u^2+v^2+1)^2}-1,\;\dfrac{16v^2}{(u^2+v^2+1)^2}-1,\;3-\dfrac{16(u^2+v^2)}{(u^2+v^2+1)^2}$

Ой, еще условия есть, извиняюсь.

[Cash]

Shadow, а что смущает в условиях?

[ИСН]

Что это далеко не все возможные разбиения на тройки, например. Выпадет $(2x,x,y):(z,2y,2z)$ - и что тогда?

[Shadow]

Таких шестерок действительно бесконечно много, если постараться будут и положительными. Пример (к сожалению с отрицательном):

$-92492400,14229600,99607200,78262800,156673825,1311958176$

Принцип такой: первые четыре числа такие, что сумма любых трех из них - квадрат.

$a_1=\dfrac 1 3 (a^2+b^2+c^2-2d^2)$

остальные анлогично, меняется место $-2$

Для оставшихся двух решается система:

$\begin{cases} a_1+a_2+n=x_1^2\\a_1+a_2+k=x_2^2\\a_2+a_4+n=y_1^2\\a_2+a_4+k=y_2^2\\a_1+a_4+n=z_1^2\\a_1+a_4+k=z_2^2\end{cases}$

что сводится к нахождении двух нетривиальных решений системы:

$\begin{cases} x^2-y^2=a^2-d^2\\y^2-z^2=d^2-c^2\end{cases}$

из тривиального можно получить нетривиальные.

[Shadow]

Ну и пример с положительными (а таких будет бесконечно много, даже если зафиксировать $b/a,c/a,d/a$)

2772279286708634965046957814373566661540281733312347809858577415124344768523906663366823993600
47128747874046794405798282844350633246184789466309912767595816057113861064906413277236007891200
67227772702684397902388726998558991542351832032824434389070502316765360636704736586645481844800
85940657887967683916455692245580566507748733732682782105615899868854687824241106564371543801600
33935301406431178102228895965416209448589054352448133491999547527370046534104210681787588098201
1619511719513615447720717529715575721763442753100606561025763099005779600972624446522159797044800

Большие получились, но особо не старался подбирать.

[Shadow]

Shadow в сообщении #1245882 писал(а):

Для оставшихся двух решается система:

$\begin{cases} a_1+a_2+n=x_1^2\\a_1+a_2+k=x_2^2\\a_2+a_4+n=y_1^2\\a_2+a_4+k=y_2^2\\a_1+a_4+n=z_1^2\\a_1+a_4+k=z_2^2\end{cases}$

что сводится к нахождении двух нетривиальных решений системы:

$\begin{cases} x^2-y^2=a^2-d^2\\y^2-z^2=d^2-c^2\end{cases}$

Очень тупая ошибка. Надо было

$\begin{cases} a_1+a_2+n=x_1^2\\a_1+a_2+k=x_2^2\\a_1+a_3+n=y_1^2\\a_1+a_3+k=y_2^2\\a_1+a_4+n=z_1^2\\a_1+a_4+k=z_2^2\end{cases}$

И система получиться, если опять не затупил
$\begin{cases} x^2-y^2=b^2-c^2\\x^2-z^2=a^2-c^2\end{cases}$

не вижу тривиальное решение, но можно же подобрать Попробуем.
(предыдущие решения, конечно, не верны).

[Shadow]

Shadow в сообщении #1246407 писал(а):

не вижу тривиальное решение

Уже вижу, условие
$x^2+c^2=y^2+b^2=z^2+a^2$
очень легко выполнимо, дальше арифметика.

[Ktina]

Shadow
Большое спасибо!

[Shadow]

Не за что, Ktina. Вот теперь верно - проверил

435400167941653354923562142078544702084304872087431335269894813000000
2800682161354418877616426751748476732326069177211044805249593662000000
3542039204065882698161951480152485279118263959413968430168603749000000
8072554465080383823717935931510315287292787628431835026895887614000000
23686232232205946279980164266876039900853739133396059801997750304407424
2182599056346280793776634154378963191345004956091725796768214204242481