И снова ни одного простого числа (из далёкого 2001г)

[Ktina]

С натуральным числом проделываем следующую операцию: его последнюю цифру отделяем, умножаем на 7 и прибавляем к оставшемуся числу (скажем, из 2017 получаем 250). С полученным числом проделываем то же самое, и так далее. Докажите, что если в полученной последовательности встретилось число 2001, то в ней нет ни одного простого числа.

[Dmitriy40]

Прямой ход: $2001 \to 207 \to 69 \to 69 \to \ldots$ - все составные.
Обратный ход: $x \to 10x-69k, k=[0\ldots9]$, если исходное $x$ делится на $3$, то и предыдущее будет делиться на три при любой младшей цифре. А $2001$ на $3$ делится - значит и все возможные предыдущие числа тоже делятся на 3 - т.е. составные.
Получается кроме $2001$ таким же свойством обладает и любое кратное трём число.
Кроме $7$ можно умножать и на $(1,4,7,10)$ или $3n-2, n \in\mathbb{N}$ с сохранением тех же свойств.

[Ktina]

Dmitriy40
Соображения делимости на 3 как раз ускользнули от моего внимания, к сожалению.
Поэтому решение у меня получилось немножко извращённое.
Моё решение такое: если в последовательности есть 2001, то каждое число в ней делится на 23. Самого же числа 23 там не будет, это несложно доказать.

[Dmitriy40]

Вообще интересная последовательность, она быстро вырождается или в константу $(23,46,69)$, или в периодическую с периодом $22$ (все члены в периоде меньше $69$ и с одинаковым остатком от деления на $3$).

Ktina в сообщении #1246468 писал(а):

Моё решение такое: если в последовательности есть 2001, то каждое число в ней делится на 23.

Учитывая что $69=3\cdot23$, моё решение эквивалентно Вашему.