Двойной математический маятник

[wrest]

realeugene в сообщении #1246142 писал(а):

Возможно, у авторов модели сильно возрастают вычислительные ошибки при больших углах.

Сомнительно, поскольку у нижнего маятника с углами проблем нет -- крутится туда и сюда.

Но вы правы: энергия по той ссылке на math24 что я дал -- теряется, хотя как-то очень странно -- только в верхней половине и довольно быстро, а в нижней не теряется вообще.

Я нашел симулятор где дифуры решаются разными методами, и там где-то энергия постепенно теряется (метод Рунге-Кутты), где-то увеличивается (Эйлера), где-то меняется очень-очень медленно (Adaptive Step Runge-Kutta и Adaptive Step-Modified Euler). Энергия там выводится на экран, так что можно видеть что с ней происходит. Можно задать и начальные условия (положения, длины, массы. Но не начальные скорости).
Там также рисуется графики, так что можно себе представить какую-то картину по вероятностям. Кстати там графики разные -- например кинетическая энергия-время, потенциальная энергия-время, углы, ускорения и т.п.
Симулятор: https://www.myphysicslab.com/pendulum/d ... um-en.html

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (Ф)» в форум «Олимпиадные задачи (М)»

[wrest]

fred1996 в сообщении #1244144 писал(а):

2. Пусть теперь у нас присутствует гравитация $g$ с заданной энергией $E$ при нулевой потенциальной энергии в положении: $\varphi=\frac{\pi}{2}, \psi=\frac{\pi}{2}$
Найти функцию распределения плотности вероятности $f(\varphi, \psi)$

При этих начальных условиях вот так выглядит симуляция маятника

по вертикали угол "первой ноги", по горизонтали - второй, в радианах.

Матожидание по обоим углам, как видно, ноль.
Внутри "ромба", на глаз, заполнение равномерное.
Границы "ромба", на глаз - прямые.

[realeugene]

wrest в сообщении #1246182 писал(а):

Границы "ромба", на глаз - прямые.

Границы ромба можно получить легко, записав неравенство для выражения потенциальной энергии. $E=-(m_1+m_2)l_1\cos\varphi-m_2l_1\cos\psi<0$. Здесь $g=1$. И нужно бы перерисовать рисунки, переобозвав массы, для единообразия формул. Так что, там не прямые.

[wrest]

realeugene в сообщении #1246195 писал(а):

Так что, там не прямые.

Да, вы правы.

Интересно -- если вторая нога (на рисунке ТС обозначена $l_2$) в два раза короче второй, а начальные углы по-прежнему прямые (т.е. стартует маятник из горизонтальной позиции), то процесс периодический, хаоса нет. Хаос начинается когда вторая нога где-то 0.76 от первой.

Вторая нога 0.75 от первой: колебания периодические

Вторая нога 0.76 от первой: сначала периодические, но затем становятся хаотическими



upd Еще раз: На рисунках ТС первая нога - дальняя от точки подвеса, а вторая - за которую подвешен маятник.

[fred1996]

wrest
Наглядно видно, как взаимодействие масс выравнивает функцию распределения.

[wrest]

"Что-то пошло не так". После очень долгого периодического колебания при $l_2=0,75l_1$ маятник таки перешел в хаотический режим.




Удивительная штука.

[realeugene]

Не думаю, что там функция распределения по координатам в условиях хаоса на самом деле однородная. Искомая плотность вероятности должна быть функцией от собственных значений квадратичной формы кинетической энергии в рассматриваемых координатах.

[mixpol]

Гауссиану не пробовали (в смысле спектрального распределения)? Без гауссианы в физике не принимаются спектр-измерения...

[fred1996]

wrest в сообщении #1246239 писал(а):

"Что-то пошло не так". После очень долгого периодического колебания при $l_2=0,75l_1$ маятник таки перешел в хаотический режим.




Удивительная штука.

Все как раз так.
Если задать равномерное распределение по углам в начальном положении, периодические движения возможны только на множестве меры ноль. Ну а в случае компьютерных округлений даже четкая математическая периодичность все-равно свалится в конце концов в хаос. Ваш график - наглядное тому подтверждение.

[wrest]

fred1996 в сообщении #1246259 писал(а):

Ну а в случае компьютерных округлений даже четкая математическая периодичность все-равно свалится в конце концов в хаос.

Мне кажется что хаос возможен только если дальняя от подвеса нога может встать вертикально вверх (т.е. - сделать полный оборот), все остальное -- периодическое движение без особых выкрутасов.

[mixpol]

Да нет.
Всё как раз так и должно было произойти. Шноля почитайте. Вы вышли из спектрального распределения, попали на дифференциальный лепесток.
Измерение границы между порядком и хаосом по Шнолю - это как раз и отлавливание таких граничных сигналов. Очень сложно определить эту границу. Если Вам это удастся, тогда это будет серьёзным научным открытием. Не бросайте такую работу. По поводу хаусфордовости разберёмся потом...

Только надо учесть, что измерять надо не лепесток за колоколом гауссианы, а именно провал, что и есть граница....

[fred1996]

wrest в сообщении #1246260 писал(а):

fred1996 в сообщении #1246259 писал(а):

Ну а в случае компьютерных округлений даже четкая математическая периодичность все-равно свалится в конце концов в хаос.

Мне кажется что хаос возможен только если дальняя от подвеса нога может встать вертикально вверх (т.е. - сделать полный оборот), все остальное -- периодическое движение без особых выкрутасов.

Полные обороты обеих масс тоже можно считать периодичесими, если траектории накладываются. Математически тут разницы никакой.