2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Приведение лин оператора и квадратичной формы к диаг виду
Сообщение08.09.2017, 01:59 


15/04/10
985
г.Москва
В линейной алгебре есть теорема о приведении матрицы линейного конечномерного оператора к диагональному виду: Матрица линейного оператора в некотором базисе является диагональной тогда и только тогда, когда все векторы этого базиса являются собственными векторами оператора
Матрица линейного оператора при смене базиса вычисляется по формуле
$A_f=T^{-1} \cdot A_e \cdot T$
По такой же формуле вычисляется и матрица квадратичной формы при линейной замене ее переменных
В случае некратных собственных значений собственный базис определен однозначно с точностью до нормировки.
Но с другой стороны, известно, что канонический вид квадратичной формы может быть разным.
Одинаково только количество положительных и отрицательных диагональных элементов (закон инерции)
Метод Лагранжа выделения полных квадратов дает другой базис и другой канонический вид квадратичной формы чем метод по собственным значениям.
Получается что это противоречит теореме о приведении матрицы линейного оператора к диагональному виду , утверждающей единственность такого базиса?
В чем ошибка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Приведение лин оператора и квадратичной формы к диаг виду
Сообщение08.09.2017, 03:35 


20/09/05
85
eugrita в сообщении #1246034 писал(а):
Метод Лагранжа выделения полных квадратов дает другой базис и другой канонический вид квадратичной формы чем метод по собственным значениям.
Получается что это противоречит теореме о приведении матрицы линейного оператора к диагональному виду , утверждающей единственность такого базиса?

Можно пример?
Впрочем, он не так важен - скорее его наличие/отсутствие продемонстрирует разницу в терминологии, особенно понятия канонического вида кв. формы.
А вот это
eugrita в сообщении #1246034 писал(а):
Матрица линейного оператора при смене базиса вычисляется по формуле
$A_f=T^{-1} \cdot A_e \cdot T$
По такой же формуле вычисляется и матрица квадратичной формы при линейной замене ее переменных

просто неправда. Матрица кв. формы преобразуется по другому закону.

 Профиль  
                  
 
 Re: Приведение лин оператора и квадратичной формы к диаг виду
Сообщение08.09.2017, 04:25 


15/04/10
985
г.Москва
$f=\bar{x}^t A x$
$\bar{x}=T \bar{u}$
$f=\bar{u}^t \cdot T^t \cdot A \cdot T \cdot \bar{u} $

понял вроде в 1 случае слева обратная матрица во 2-м -транспонированная?

 Профиль  
                  
 
 Re: Приведение лин оператора и квадратичной формы к диаг виду
Сообщение08.09.2017, 04:44 


20/09/05
85
eugrita в сообщении #1246043 писал(а):
в 1 случае слева обратная матрица во 2-м -транспонированная?

Да.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: dgwuqtj


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group