Приведение лин оператора и квадратичной формы к диаг виду

[eugrita]

В линейной алгебре есть теорема о приведении матрицы линейного конечномерного оператора к диагональному виду: Матрица линейного оператора в некотором базисе является диагональной тогда и только тогда, когда все векторы этого базиса являются собственными векторами оператора
Матрица линейного оператора при смене базиса вычисляется по формуле
$A_f=T^{-1} \cdot A_e \cdot T$
По такой же формуле вычисляется и матрица квадратичной формы при линейной замене ее переменных
В случае некратных собственных значений собственный базис определен однозначно с точностью до нормировки.
Но с другой стороны, известно, что канонический вид квадратичной формы может быть разным.
Одинаково только количество положительных и отрицательных диагональных элементов (закон инерции)
Метод Лагранжа выделения полных квадратов дает другой базис и другой канонический вид квадратичной формы чем метод по собственным значениям.
Получается что это противоречит теореме о приведении матрицы линейного оператора к диагональному виду , утверждающей единственность такого базиса?
В чем ошибка?

[NDP]

eugrita в сообщении #1246034 писал(а):

Метод Лагранжа выделения полных квадратов дает другой базис и другой канонический вид квадратичной формы чем метод по собственным значениям.
Получается что это противоречит теореме о приведении матрицы линейного оператора к диагональному виду , утверждающей единственность такого базиса?

Можно пример?
Впрочем, он не так важен - скорее его наличие/отсутствие продемонстрирует разницу в терминологии, особенно понятия канонического вида кв. формы.
А вот это

eugrita в сообщении #1246034 писал(а):

Матрица линейного оператора при смене базиса вычисляется по формуле
$A_f=T^{-1} \cdot A_e \cdot T$
По такой же формуле вычисляется и матрица квадратичной формы при линейной замене ее переменных

просто неправда. Матрица кв. формы преобразуется по другому закону.

[eugrita]

$f=\bar{x}^t A x$
$\bar{x}=T \bar{u}$
$f=\bar{u}^t \cdot T^t \cdot A \cdot T \cdot \bar{u} $

понял вроде в 1 случае слева обратная матрица во 2-м -транспонированная?

[NDP]

eugrita в сообщении #1246043 писал(а):

в 1 случае слева обратная матрица во 2-м -транспонированная?

Да.