Вероятность падения частицы в одну из потенциальных ям

[fred1996]

amon
Представьте, что вы меряете благосостояние американцев по числу комнат в их жилищах и числу автомобилей, им принадлежащих. Я могу вам сказать, что в нью-йорке некоторые богачи не имеют собственного авто, а пользуются такси - так дешевле и практичнее зачастую. А в Лос-Анжелесе полно бездомных безработных, половина из которых живет в личных авто. А теперь нарисуйте мне функцию распределения благосостояния американцев, если у вас на руках вся статистика IRS. Понятно, что вам необходимо ввести какие-то весовые к-ты, чтобы задача имела хоть какой-то смысл. Кстати, в такой задаче наверное что-то типа евклидовой метрики будет предпочтительнее, чем совсем уж линейная.

[Munin]

amon в сообщении #1245423 писал(а):

Ответ, полученный с помощью интеграла, не совпадет с результатом измерения курвиметром

Совпадёт при некотором соглашении. Для ваших оппонентов оно явное, а для вас - в "слепом пятне". Это соглашение, когда вы решаете отобразить джоули на миллиметровке в некотором масштабе в миллиметрах.

[amon]

Munin в сообщении #1245458 писал(а):

Совпадёт при некотором соглашении. Для ваших оппонентов оно явное, а для вас - в "слепом пятне".

Видимо, в полемическом угаре, я коряво формулирую мысль. Попробую еще разок аккуратно объяснить, что я имею в виду. Итак, в обсуждаемой задаче повис вопрос:

realeugene в сообщении #1245196 писал(а):

У двух координат в фазовом пространстве различные единицы измерения. В каких единицах будем измерять длину этой кривой?

Допустим, что частицы равномерно распределены не на кривой, а в тонком кольце толщиной $dh$:

Вложение:

PQ.gif [ 13.05 Кб | Просмотров: 0 ]

Тогда, скажем, вероятность оказаться в области $abcd$ есть отношение площади части кольца, попавшей внутрь области к полной площади кольца:

$$ P=\frac{\int\limits_{\text{внутри}}dp\,dq}{\int\limits_{\text{всего}}dp\,dq} $$

Это - безразмерная инвариантная вероятностная мера. В этом случае могу спокойно считать величины $p$ и $q$ безразмерными величинами (поделить их на 1 соответствующей размерности, как в описанном выше случае с длиной параболы). Поскольку $dV=dp\,dq$ - инвариантная мера, я могу переписать её как $dV=dh\,dl$, где $dl$ - дифференциал дуги внешней кривой. Тогда

$$ P=\frac{\int\limits_{\text{внутри}}dh\,dl}{\int\limits_{\text{всего}}dh\,dl}=\frac{dh\int\limits_{\text{внутри}}dl}{dh\int\limits_{\text{всего}}dl}=\frac{\text{длина дуги}}{\text{полная длина}} $$

То есть, в этом случае мне плевать на формальные размерности, стоящие в $dl$. Где я неправ?

[realeugene]

amon в сообщении #1245642 писал(а):

Поскольку $dV=dp\,dq$ - инвариантная мера

Что вы называете "инвариантной мерой"? Напомню, что в рассматриваемой системе имеются потери энергии.

amon в сообщении #1245642 писал(а):

а в тонком кольце толщиной $dh$

Вы нарисовали эллипс, в котором толщина кольца на рисунке одинаковая. Растяните ваш рисунок по высоте в два раза. Толщина станет неодинаковой.

Кроме того, по условиям задачи начальные условия задаются на одномерной линии. Как вводится вероятностная мера на этой линии, задающая распределение начальных условий (иначе говоря, как именно толщина зависит от длины вдоль линии), про это и был вопрос.

К слову, ТС уже начальные условия конкретизировал, так что, вопрос уже не про них.

И, да, вы хотели нарисовать график функции.

[fred1996]

amon
У вас $dl$ и $dh$ зависят от "направления"
Так что ваша последняя формула преобразования где то мне напоминает выражение:
$\frac{\sin x}{\sin y} = \frac{x}{y}$

Возьмите, к примеру, квадрат со стороной 1. Его периметр равен 4. Теперь растяните его в любом направлении в 2 раза. Если вы растянете по одной из осей в два раза, то одна из сторон останется 1, а другая 2. А периметр станет 6. В любом случае "веса" сторон изменятся. И только в случае растяжения под 45 градусов "веса" не изменятся.

[amon]

fred1996 в сообщении #1245649 писал(а):

Теперь растяните его в любом направлении в 2 раза.

Канонические преобразования сохраняют фазовый объём.

[Munin]

amon в сообщении #1245642 писал(а):

Допустим, что частицы равномерно распределены не на кривой, а в тонком кольце толщиной $dh$

Вы пользуетесь тем, что $h$ - энергия. Как и ТС. Не будь такой возможности (например, в фазовом пространстве более 2 измерений), у вас бы не получилось задать $dh$ инвариантно - это не менее сложно, чем задать $dl.$

-- 06.09.2017 22:10:23 --

amon в сообщении #1245657 писал(а):

Канонические преобразования сохраняют фазовый объём.

То есть, площадь в данном случае, но не конкретные длины.

Давайте совсем просто. Весь фазовый портрет можно сжать в 2 раза по координате, и растянуть в 2 же раза по импульсу. Это будет каноническим преобразованием. Но длина кривой, которую вы измерили курвиметром, не сохранится.

[realeugene]

amon в сообщении #1245657 писал(а):

Канонические преобразования сохраняют фазовый объём.

И чё? Ширина линии - это не фазовый объём.
"Доля диска" при растяжении сохранится, если её как-то предварительно задать. О том, как именно задать её "равномерной" вдоль кривой, и состоит вопрос. Задайте вероятностную меру вдоль кривой - и дальше вопросов к вашим построениям не будет (ну кроме вопроса про построение графика функции с даже неизвестными коэффициентами ). Дальше растягивайте координаты каноническими преобразованиями как хотите вместе с этим гамильтонианом, и, даже, меняйте координаты местами.

[amon]

realeugene в сообщении #1245660 писал(а):

Задайте вероятностную меру вдоль кривой

А я разве что-то другое задал?

Munin в сообщении #1245659 писал(а):

Вы пользуетесь тем, что $h$ - энергия.

IMHO, не пользуюсь. Пользуюсь только инвариантностью фазового объёма и двумерией, а также тем, что вычисляемая величина (вероятность) безразмерна. Но тут настаивать не буду - глубоко не копал.

-- 06.09.2017, 22:19 --

Munin в сообщении #1245659 писал(а):

Но длина кривой, которую вы измерили курвиметром, не сохранится.

Сохранится отношение длин. (Я ведь сосчитал отношение фазовых объёмов, а оно всяко сохранится). Каждая длина по-отдельности имеет право меняться как хочет. Ещё раз. Я настаиваю на наплевательском отношении к размерностям только в обсуждаемой задаче, а не вообще и всегда.

[realeugene]

amon в сообщении #1245663 писал(а):

А я разве что-то другое задал?

Вы её не задали. Вы нарисовали линию постоянной ширины в некотором произвольно выбранном масштабе осей, и объявили длину вдоль этой линии равномерной вероятностной мерой вдоль линии. При простом растяжении графика ширина линии перестанет быть постоянной вдоль уже другой длины линии (совместимой с новым масштабом осей). Если её на растянутом графике нарисовать опять постоянной ширины, получится другая, отличная от первоначальной "равномерная вероятностная мера". А так как всё у вас привязано к произвольно выбранному масштабу на графике, вы ничего не задали.

-- 06.09.2017, 22:24 --

amon в сообщении #1245663 писал(а):

Сохранится отношение длин.

Так не сохранится, судя по тому, что вы нарисовали. Растяните по вертикали. В ваш многоугольник abcd попадёт более толстый кусок линии с большей площадью. Сожмите - попадёт более тонкий. При том что толщина линии на левом и правом экстремумах не меняется.

Нет, это я уже в запале вру. При просто масштабировании оси доля площади, конечно, сохраняется. Но линия становится неравномерно толстой.

Или вру, что вру. Отношение длин не сохранится, сохранится только отношение площадей.

[amon]

realeugene в сообщении #1245669 писал(а):

Вы её не задали.

Это - вероятностная мера?

$$ P=\frac{\int\limits_{\text{внутри}}dp\,dq}{\int\limits_{\text{всего}}dp\,dq} $$

Про замечание Munin'а о том, что неявно используется изоэнергетичность надо подумать. Может он и прав.

[realeugene]

amon в сообщении #1245672 писал(а):

Это - вероятностная мера?

Это может быть что угодно, в зависимости от контекста. Но условиям исходной задачи это выражение вообще не соответствует, так что, нет, это точно не требуемая вероятностная мера.

Вероятностная мера задаётся на пространстве событий. Пространство событий, подразумеваемое вашей мерой, чётко не просматривается (хоть и наверняка можно придумать задачу, для которой оно окажется адекватным), но оно, очевидно, сильно отличается от вероятностного пространства, задающего распределение начальных условий обсуждаемой задачи.

[Munin]

amon в сообщении #1245663 писал(а):

Сохранится отношение длин.

Нет. Пусть сначала вы отложили 1 см по вертикали и по горизонтали. Отношение 1. Потом сделали вышеуказанное преобразование, у вас по горизонтали стало 0,5 см, а по вертикали 2 см. Отношение 4.

[amon]

Munin в сообщении #1245685 писал(а):

Нет. Пусть сначала вы отложили 1 см по вертикали и по горизонтали. Отношение 1. Потом сделали вышеуказанное преобразование, у вас по горизонтали стало 0,5 см, а по вертикали 2 см. Отношение 4.

А вот это уже выстрел по цели. Но не могу удержаться, напомню историю вопроса. Сыр-бор начался с того, что уважаемый pogulyat_vyshel сказал, что частицы равномерно распределены на линии уровня энергии. Я привёл формулу, в которой фигурировала длина дуги в фазовом пространстве. В меня полетели тапки с записками "нельзя складывать величины разной размерности". На это я возразил, что если всё (канонические координаты) фиксировано, то можно, но надо разбираться с корректностью такого определения в других координатах. Сейчас вырисовывается такой ответ. Если все фиксировано - то можно. Однако, для произвольной кривой при канонических преобразованиях равномерное распределение перейдёт в неравномерное. Для изоэнергетической кривой кажется, что такого не будет, но надо проверять (проверка в лоб для линейных преобразований и гамильтониана ТС вроде это подтверждает, но это в уме, а его нет). Тем не менее, с учётом изменения распределения можно спокойно интегрировать $dl$ не думая о размерностях.

[Munin]

amon в сообщении #1245706 писал(а):

Сейчас вырисовывается такой ответ.

Нет, правильный ответ озвучил ТС, а ваш - всё ещё не тот.