Вес жидкости, циркулирующей в трубопроводе

[Z.S.]

Кое-что не сходится. Хочу найти, на каком этапе ошибка в расчетах.

Пусть у нас имеется замкнутый трубопровод, сделанный из очень легкого материала. По трубопроводу протекает идеальная жидкость ( нет трения, нет сжатия, нет потерь). Трубопровод подвешен на динамометре, в закрытой кабине. Кабина движется в пустоте, с постоянным собственным ускорением. В кабине установлены акселерометры, разнесенные по высоте. Также, по всей длине трубопровода установлены датчики скорости движения жидкости.



Задача состоит в том, чтобы узнать величину вклада от

Вклад №1. жидкости, которая находится в верхней дуге трубопровода ( уровень 1)
Вклад №2. жидкости, которая находится в нижней дуге трубопровода (уровень 2)
Вклад №3. жидкости, которая находится в вертикальных отрезках трубопровода

в общую силу, которую регистрирует динамометр (желтый, на уровне 1).

Считаем, что акселерометр на уровне $1$ показывает величину ускорения равную $a$, а датчик скорости жидкости в верхней дуге трубопровода дает величину скорости $v$ . Слагаемые, пропорциональные $1/c^2$ учитываем и не отбрасываем. Плотность жидкости в СО, где жидкость покоится обозначаем $\rho$. Площадь сечения (допустим что это окружность радиуса $r $) трубопровода обозначим как $S$.

Выполняется : $L>>R$ , $R>>r $, $v<<c$ .

Вклад №1.

$F_1=2S\rho v^2\left (1+\frac{v^2}{2c^2} \right ) $

Вклад №1 верно посчитан?

[miflin]

Я, наверное, чего-то не понимаю...
Почему бы не написать $F=ma$, где $m$ - масса всей жидкости.

[realeugene]

(Оффтоп)

Ничего не понял.

Почему динамометры вообще будут что-либо показывать?
А датчики скорости движения жидкости в замкнутой трубе зачем?

[Z.S.]

miflin в сообщении #1245426 писал(а):

Я, наверное, чего-то не понимаю..

Динамометр: взвешиваем систему. Полная сила известно какая будет - энергия покоя подвешенной системы с т.з. наблюдателя на уровне 1, поделить на скорость света в квадрате (физическую), и умножить на величину ускорения на уровне 1. Но, я хочу посчитать поэлементно, для трех частей жидкости, с учетом того, что показания акселерометров на уровне 1 и уровне 2 будут разными, равно как и скорость хода часов, и др. нюансы.

realeugene в сообщении #1245428 писал(а):

Почему динамометры вообще будут что-либо показывать?
А датчики скорости движения жидкости в замкнутой трубе зачем?

Основные соображения

1. Акселерометр на уровне 2 будет показывать больше чем на уровне 1.
2. Часы на уровне 2 идут медленнее чем часы на уровне 1, и соответственно т.к. течение жидкости непрерывно, то локальный датчик скорости жидкости внизу покажет большее значение.
3. В жидкости будет давление - увеличиваться от уровня 1 к уровню 2.
4. Плотность инертной массы зависит как от плотности энергии так и давления (точнее от тензора напряжений, но у нас жидкость)
5. Надо будет учесть еще вклад напряжений в веществе трубопровода в величину инертной массы в вертикальном направлении ( отрицательный, т.к. трубопровод будет растянут в вертикальном направлении, энергию деформации можно положить достаточно малой.)
6. Если смотреть СТО, то величина собственного ускорения точки, которая имеет ненулевую скорость относительно наблюдателя в ИСО, тем больше, чем больше эта скорость (при одинаковых ускорениях относительно наблюдателя в ИСО).
7. Потом есть желание все сложить и получить ожидаемое, чтобы все сошлось.

[wrest]

Z.S. в сообщении #1245407 писал(а):

Вклад №1.
$F_1=2S\rho v^2\left (1+\frac{v^2}{2c^2} \right ) $

Вклад №1 верно посчитан?

При неподвижной жидкости получается ноль

[realeugene]

Взвешиваете? По вашему чертежу это понять невозможно.

[wrest]

realeugene в сообщении #1245457 писал(а):

Взвешиваете? По вашему чертежу это понять невозможно.

Да вроде понятно все. Кабина ускоряется вправо, силы тяжести нет. Трубопровод массой $m$ тянет динамометр влево, сила по Ньютону будет $ma$.
Должно быть эквивалентно если повернуть кабину и внутренности на 90 градусов против часовой и заменить ускорение силой тяжести направленной вниз. ТС, судя по предыдущим темам, как раз проверяет эквивалентность.

[realeugene]

wrest в сообщении #1245527 писал(а):

судя по предыдущим темам,

Не знаком. Видимо, поэтому мне ничего и не понятно. Описание не самодостаточное.

[realeugene]

Z.S. в сообщении #1245407 писал(а):

Вклад №1 верно посчитан?

При нулевом ускорении у вас получается ненулевая сила. Это именно то, что вы хотите получить?

[Z.S.]

wrest в сообщении #1245450 писал(а):

При неподвижной жидкости получается ноль

Да. Это из-за идеализации задачи, чтобы меньше считать было, принято L>>R - можно потом учесть добавку, хотя на общий результат она не влияет ( хотя можно ее держать в уме).
$\bar{F}_{1}$ направлен "вверх", т.е. дает "минусовый" вклад в показания динамометра - это реактивная сила, которая создается при движении жидкости по верхней дуге. Центростремительное ускорение считаем намного больше чем собственное ускорение любой точки кабины.

wrest в сообщении #1245527 писал(а):

Должно быть эквивалентно если повернуть кабину и внутренности на 90 градусов против часовой и заменить ускорение силой тяжести направленной вниз. ТС, судя по предыдущим темам, как раз проверяет эквивалентность.

1. Повернуть картинку наверное можно было бы для улучшения восприятия. Наблюдатель в кабине, которая движется с ускорением в пустоте, может условно считать себя находящимся в "истинном" гравитационном поле с соответствующим ускорением свободного падения - его направление противоположно направлению собственного ускорения , направление которого показано на рисунке. Значит обозначаем "верх" - это где желтая цифра 1, а "низ" - это где желтая цифра 2.

2. Вы угадали. Сначала я хочу сделать расчет для кабины в пустоте. Потом такой же расчет для кабины на планете. Я хочу как минимум подтвердить равенство инертной и пассивной гравитационной массы для системы на рисунке.

(Оффтоп)

Эквивалентность, в том смысле, что что если некий , условно бесструктурный объект (допустим тяжелый шарик) движется неинерциально с некоторым собственным ускорением, то он из-за этого становится генератором реактивной силы (которую регистрирует динамометр) и величина этой силы пропорциональна величине собственного ускорения, независимо от способа, каким мы создали это собственное ускорение ( либо ускоряя шарик в пустоте, либо просто положив шарик на поверхность планеты) - проверять наверное можно, из спортивного интереса например. В этом смысле, инертная и пассивная гравитационная масса - это одно и тоже по сути - можно наверное сказать что это реактивная масса - свойство, описывающее способность объекта генерировать реактивную силу в состоянии неинерциального движения.

realeugene в сообщении #1245532 писал(а):

Описание не самодостаточное.

По ходу несложно подправить. У всех разное восприятие. Схема простая: желтая пружинка - условно обозначен динамометр. Кабина движется с ускорением - направление показано стрелкой. На пружинке подвешен груз -трубопровод с циркулирующей жидкостью - тянет вниз. Обозначаем "верх" - где желтая цифра 1, а "низ" - где желтая цифра 2.

realeugene в сообщении #1245544 писал(а):

Z.S. в сообщении #1245407 писал(а):

Вклад №1 верно посчитан?

При нулевом ускорении у вас получается ненулевая сила. Это именно то, что вы хотите получить?

Нет конечно. При нулевом ускорении, естественным образом, в силу симметрии, будет выполнятся: $\bar{F}_{1}=-\bar{F}_{2} $. А при ненулевом ускорении, кажется что $F_{1}<F{2} $, например в силу того, что из СТО известно $F'_{\parallel }=F_{\parallel }$, а локальная скорость и давление жидкости внизу больше чем вверху. Если, к примеру, жидкость вращается например в кольцевом трубопроводе, то $F_{1} $ - это будет удвоенное значение силы, которая пытается растянуть-разорвать трубопровод ( если мерять нагрузку вдоль оси трубы). Или, например кольцо вращается, и нас интересует при какой скорости вращения оно порвется - значит надо сначала узнать величину условно говоря $F_{1} /2$.

[realeugene]

Z.S. в сообщении #1245407 писал(а):

$F_1=2S\rho v^2\left (1+\frac{v^2}{2c^2} \right ) $

Я рассматривал только эту формулу и ничего больше. В неё не входит ускорение.

[Z.S.]

realeugene в сообщении #1245552 писал(а):

Z.S. в сообщении #1245407 писал(а):

$F_1=2S\rho v^2\left (1+\frac{v^2}{2c^2} \right ) $

Я рассматривал только эту формулу и ничего больше. В неё не входит ускорение.

Да, не входит, получается, т.к. считаем скорость изменения импульса жидкости для изогнутого участка трубы на уровне 1, и в формулу входят показания местных приборов. Когда буду считать силу для участка трубы на уровне 2, и потом записывать ее через показания приборов на уровне $1$, должно вылезти ускорение. Посчитал еще раз, получилось так (местный наблюдатель на уровне 1, $v_1=v$, $\rho_1= \rho $):
За время $\Delta t_1=2\pi R/v$ импульс жидкости втекшей в изогнутый участок изменится на величину $\Delta p_1=4\pi RS\rho v\gamma ^2$.
Величина силы получилась такая (кажись ошибка была):
$F_1=\Delta p_1/\Delta t_1=2S\rho v^2\gamma ^2\approx 2S\rho v^2\left ( 1+\frac{v^2}{c^2} \right )$

[realeugene]

Z.S. в сообщении #1245967 писал(а):

Да, не входит, получается

При нулевом ускорении и отсутствии гравитации силы должны быть равны нулю везде.

Что касается ненулевой скорости - разберитесь с понятием инерциальных систем отсчёта.

[Z.S.]

realeugene в сообщении #1246076 писал(а):

Z.S. в сообщении #1245967 писал(а):

Да, не входит, получается

При нулевом ускорении и отсутствии гравитации силы должны быть равны нулю везде.

Что касается ненулевой скорости - разберитесь с понятием инерциальных систем отсчёта.

Жидкость движется в изогнутом участке трубы, с УСКОРЕНИЕМ. Центростремительным.

Хорошо. Давайте так сначала. В пустоте, в невесомости, находится кольцевая труба, с небольшим размером сечения, по сравнению с радиусом кольца $R$. В трубе циркулирует жидкость. Скорость жидкости $v$. Плотность её в покое, $\rho $,известна. Рассеките трубу, перпендикулярно скорости движения жидкости, но так, чтобы плоскость сечения проходила через центр кольца. Какое усилие, по вашему, надо будет приложить к каждой из половинок кольцевой трубы, чтобы удержать их от разлета.

Или например будет дана вам задача рассчитать на прочность тонкое вращающееся кольцо. Как вы будете искать напряжения в сечении кольца? Сначала, наверное, найдете усилие в сечении, а потом поделите на площадь сечения. Ваш вариант расчета усилия в сечении, тогда какой Вы предлагаете?

[realeugene]

А, начинаю понимать, что именно вы нарисовали. Возможно.

Да, поправленная формула верна до второго порядка малости по $v/c$.