2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Надо вычислить предел
Сообщение03.06.2008, 20:17 
Аватара пользователя
$$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=n}^{2n}\frac{1}{k}$$

Надумал: Естественно,предел смахивает на ln.

$ln2=\int_n^{2n}\frac{1}{t}dt\le\sum_{k=n}^{2n}\frac{1}{k}$
и
$\sum_{k=n}^{2n}\frac{1}{k}\le\int_n^{2n}\frac{1}{t-1}dt=ln\frac{2n-1}{n-1}$

Ну и в конце $\lim_{n\to\infty}\sum_{k=n}^{2n}\frac{1}{k}=ln2$
Ваши соображения на этот счет?

 
 
 
 
Сообщение03.06.2008, 20:32 
Верно. Убеждает.

 
 
 
 
Сообщение03.06.2008, 20:39 
Неточно. Верхние пределы в интегралах должны быть $(2n+1)$, т.к. сумма содержит $(n+1)$ слагаемое. А так верно.

 
 
 
 
Сообщение03.06.2008, 20:51 
Аватара пользователя
Спасибо!

 
 
 
 
Сообщение03.06.2008, 22:50 
Аватара пользователя
Можно ещё углядеть интегральную сумму Римана:
$$\sum_{k=n}^{2n}\frac1k=\frac1n+\frac1n\sum_{k=1}^n\frac1{1+k/n}\to0+\int_0^1\frac{dx}{1+x}=\log2.$$

 
 
 
 
Сообщение04.06.2008, 08:01 
RIP писал(а):
Можно ещё углядеть интегральную сумму Римана
Ух ты :shock: :o :D :idea:

 
 
 
 
Сообщение04.06.2008, 08:22 
На самом деле это -- одно и то же. Соображения монотонности -- это лишь стандартный способ избежать возни с оцениванием интегральных сумм.

 
 
 
 
Сообщение04.06.2008, 08:24 
Ну не совсем всеж-таки. Просто, говорю, метод прикарманил.

 
 
 
 
Сообщение04.06.2008, 14:38 
Аватара пользователя
А если кто знает асимптотику частичных сумм гармонического ряда:
\[
\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{k}}  = \ln n + \gamma  + \bar o(1)\;,\;n \to \infty 
\], для того эта задача и выеденного яйца не стоит.

 
 
 
 
Сообщение04.06.2008, 14:42 
Brukvalub писал(а):
А если кто знает асимптотику частичных сумм гармонического ряда:
\[
\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{k}}  = \ln n + \gamma  + \bar o(1)\;,\;n \to \infty 
\], для того эта задача и выеденного яйца не стоит.

а вот это -- явно избыточно. Не следует запоминать всяческие спецэффекты для решения банальных задач.

 
 
 
 
Сообщение04.06.2008, 14:44 
Аватара пользователя
Ага, а ещё до кучи можно заметить, что
$$\sum_{k=n}^{2n}\frac1k=\frac1n+\left(\frac11-\frac12+\frac13-\frac14+\ldots+\frac1{2n-1}-\frac1{2n}\right)\to\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}n=\log2$$
:lol:

 
 
 
 
Сообщение04.06.2008, 14:52 
Аватара пользователя
ewert писал(а):
а вот это -- явно избыточно. Не следует запоминать всяческие спецэффекты для решения банальных задач.
А "по делу" что-нибудь сказать есть?

 
 
 
 
Сообщение04.06.2008, 14:59 
есть. И ужо откровенно сказано.

Данная сумма -- есть интегральная. Как её ни крути. А крутить можно по-разному, но в любом случае так или иначе, а на интегральную сумму мы выходим. После чего всем ежам всё очевидно.

А вот сведение её к каким-то там спецфункциям -- это не менее откровенное пижонство. Уж извините, но откровенное абсолютно. Поскольку тщательно затуманивает существо задачи.

 
 
 
 
Сообщение04.06.2008, 15:07 
Аватара пользователя
ewert писал(а):
Данная сумма -- есть интегральная. Как её ни крути. А крутить можно по-разному, но в любом случае так или иначе, а на интегральную сумму мы выходим. После чего всем ежам всё очевидно.

А вот сведение её к каким-то там спецфункциям -- это не менее откровенное пижонство.
Какое, к черту, пижонство? Сейчас на мех-мате МГУ лектор каждого потока рассказывает в теме "определенный интеграл" эту асимптотику, которая тривиально выводится из геометрического смысла определенного интеграла. Вы бы взяли лучше учебничек, да повторили материал:
Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. — Лекции по математическому анализу

 
 
 
 
Сообщение04.06.2008, 15:15 
Brukvalub писал(а):

зачем мне брать откровенно неадекватные учебнички? (пардон, может, авторов я и оскорбил -- честно признаюсь, что конкретно их не читал; но ведь Вы же лично меня убеждали, что сии аффтары не понимают, что есть существо дела, а что -- лишь его формальное оформление, а Вам я привык верить как родному).

 
 
 [ Сообщений: 23 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group