2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Египетские дроби
Сообщение01.09.2017, 16:29 


06/07/17
56
Докажите, что для любого $k\geq 3$ единицу можно представить в виде суммы k различных дробей вида $\frac{1}{n}$ Не понятно решение $1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}$далее $\frac{1}{n}=\frac{1}{n}\left ( \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6} \right )$дальше воспользоваться индукцией.Это,что нужно сделать взять n раз эту сумму из трех чисел для начала?

 Профиль  
                  
 
 Re: Египетские дроби
Сообщение01.09.2017, 16:42 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
$1 = \frac12 + \frac12\cdot1.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Египетские дроби
Сообщение01.09.2017, 17:38 


06/07/17
56
arseniiv в сообщении #1244334 писал(а):
$1 = \frac12 + \frac12\cdot1.$

Так я уже думал. Это нужно в конечном итоге раскладывать $\frac{n}{n+1}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Египетские дроби
Сообщение01.09.2017, 17:42 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
$$\begin{aligned} 
1 &= \tfrac12 + \tfrac12(\tfrac12 + \tfrac13 + \tfrac16) = \ldots \\ 
1 &= \tfrac12 + \tfrac12(\tfrac12 + \tfrac12(\tfrac12 + \tfrac13 + \tfrac16)) = \ldots \\
1 &= \ldots
\end{aligned}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Египетские дроби
Сообщение01.09.2017, 17:50 


06/07/17
56
arseniiv в сообщении #1244352 писал(а):
$$\begin{aligned} 
1 &= \tfrac12 + \tfrac12(\tfrac12 + \tfrac13 + \tfrac16) = \ldots \\ 
1 &= \tfrac12 + \tfrac12(\tfrac12 + \tfrac12(\tfrac12 + \tfrac13 + \tfrac16)) = \ldots \\
1 &= \ldots
\end{aligned}$$

Казалось, что сложнее как-то должно быть.Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Египетские дроби
Сообщение01.09.2017, 19:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
CliniqueHappy в сообщении #1244356 писал(а):
Казалось, что сложнее как-то должно быть.
Можно было ещё проще (в некотором смысле):
$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}$, $\frac{1}{6}=\frac{1}{7}+\frac{1}{6\cdot 7}$
тогда
$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{42}$.
И так далее, используя:
$\frac{1}{n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n\cdot (n+1)}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Египетские дроби
Сообщение01.09.2017, 20:13 


06/07/17
56
grizzly в сообщении #1244382 писал(а):
CliniqueHappy в сообщении #1244356 писал(а):
Казалось, что сложнее как-то должно быть.
Можно было ещё проще (в некотором смысле):
$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}$, $\frac{1}{6}=\frac{1}{7}+\frac{1}{6\cdot 7}$
тогда
$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{42}$.
И так далее, используя:
$\frac{1}{n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n\cdot (n+1)}$.

Спасибо. Только начал их изучать, опыта нет.Но под ответ который я написал в первом сообщении как-то больше первое решение подходит.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Alex Krylov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group