Египетские дроби

[CliniqueHappy]

Докажите, что для любого $k\geq 3$ единицу можно представить в виде суммы k различных дробей вида $\frac{1}{n}$ Не понятно решение $1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}$далее $\frac{1}{n}=\frac{1}{n}\left ( \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6} \right )$дальше воспользоваться индукцией.Это,что нужно сделать взять n раз эту сумму из трех чисел для начала?

[arseniiv]

$1 = \frac12 + \frac12\cdot1.$

[CliniqueHappy]

arseniiv в сообщении #1244334 писал(а):

$1 = \frac12 + \frac12\cdot1.$

Так я уже думал. Это нужно в конечном итоге раскладывать $\frac{n}{n+1}$?

[arseniiv]

$$\begin{aligned} 1 &= \tfrac12 + \tfrac12(\tfrac12 + \tfrac13 + \tfrac16) = \ldots \\ 1 &= \tfrac12 + \tfrac12(\tfrac12 + \tfrac12(\tfrac12 + \tfrac13 + \tfrac16)) = \ldots \\ 1 &= \ldots \end{aligned}$$

[CliniqueHappy]

arseniiv в сообщении #1244352 писал(а):

$$\begin{aligned} 1 &= \tfrac12 + \tfrac12(\tfrac12 + \tfrac13 + \tfrac16) = \ldots \\ 1 &= \tfrac12 + \tfrac12(\tfrac12 + \tfrac12(\tfrac12 + \tfrac13 + \tfrac16)) = \ldots \\ 1 &= \ldots \end{aligned}$$

Казалось, что сложнее как-то должно быть.Спасибо.

[grizzly]

CliniqueHappy в сообщении #1244356 писал(а):

Казалось, что сложнее как-то должно быть.

Можно было ещё проще (в некотором смысле):
$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}$, $\frac{1}{6}=\frac{1}{7}+\frac{1}{6\cdot 7}$
тогда
$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{42}$.
И так далее, используя:
$\frac{1}{n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n\cdot (n+1)}$.

[CliniqueHappy]

grizzly в сообщении #1244382 писал(а):

CliniqueHappy в сообщении #1244356 писал(а):

Казалось, что сложнее как-то должно быть.

Можно было ещё проще (в некотором смысле):
$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}$, $\frac{1}{6}=\frac{1}{7}+\frac{1}{6\cdot 7}$
тогда
$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{42}$.
И так далее, используя:
$\frac{1}{n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n\cdot (n+1)}$.

Спасибо. Только начал их изучать, опыта нет.Но под ответ который я написал в первом сообщении как-то больше первое решение подходит.