Двойной математический маятник

[fred1996]

Как частенько бывает, задачки появляются вроди из ничего. Просто от пересечения некоторых тем под определенным углом.

Итак имеем двойной математический маятник с заданными параметрами:
$m_1, l_1, m_2, l_2

1. Пусть в первом условии гравитации нет, и задана кинетческая энергия $E$ и угловой момент $L$
Найти функцию распределения плотности вероятности $f(\varphi)$



2. Пусть теперь у нас присутствует гравитация $g$ с заданной энергией $E$ при нулевой потенциальной энергии в положении: $\varphi=\frac{\pi}{2}, \psi=\frac{\pi}{2}$
Найти функцию распределения плотности вероятности $f(\varphi, \psi)$



Не знаю, были ли такие задачи при исследовании движения двойного маятника. Тема вроде изучена вдоль и поперек. Меня же натолкнули на эти задачки две недавние темы на форуме:
topic120435.html и тема про учебники по статфизике

[pogulyat_vyshel]

Вопроса, собственно, два.

1) А известно ли автору, что задача о двойном маятнике в поле силы тяжести неинтегрируема?
2) А понимает ли автор, что система с двумя степенями свободы это дифур четвертого порядка, и стало быть, даже при наличии интеграла энергии, функцию распределения ну никак нельзя задать лишь на конфигурационном пространстве?
Кстати, в детерминированной системе вообще бессмысленно говорить о распределении вероятностей, если только это распределение не задавалось в начальный момент времени. Ну и конечно, функция распределения зависит от времени, вообще говоря.
В других задачах тоже, между прочим, хватает ляпсусов

[fred1996]

Все это автору известно. Не вчера родился.
Что касается распределения вероятностей в детерминированных системах, то подумайте над такой простенькой задачей: обычный математический маятник с одной степенью свободы.
Нверняка вы сможете сосчитать плотность вероятности нахождения мачтника под каким-то углом. Она просто обратно пропорциональна угловой скорости в этой точке.
Далее, для двойного маятника интересны предельные случаи которые может и неинтегрируемы в целом, но про усреднение по времени можно кое что сказать.
Если у вас есть что добавить по предыдущим задачам, буду признателен, но желательно не в этой теме а в соответствующих.
Короче, я предлагаю эту задачу в качестве начала диалога, если есть желание.
На мой взгляд тут есть что пообсуждать.
А пока подождем, может и еще народ подтянется.

[fred1996]

Некоторые пояснения к задачам.
Как я уже писал, на эти задачи меня натолкнуло обсуждение колебательный процессов и их роли в классической и современной физике в теме
topic120435.html
Поскольку в квантовой механике при исследовании движения частиц в потенциальной яме цетральное место занимает волновая функция и ее вероятностное истолкование, мне захотелось перекинуть обратный мостик в классическую физику и рассмотреть задачи с ограниченным движением с той же точки зрения. А именно нахождения функции распределения плотности вероятности в зависимости от наперед заданной конфигурации.
Задачки с обычным одномерным периодическим движением с одной переменной в этом смысле достаточно тривиальны. Их можно прощелкать в качестве предварительных упражнений. А вот уже движение двойного маятника мне кажется можно исследовать более плодотворно на сей счет. Ведь кроме функции распледеления по координатам можно найти функции распределения по энергиям, или вычислить некие средние значения этих величин.
В общем мне кажется, на этой идее можно построить целый класс задач в классической механике.

[pogulyat_vyshel]

Есть стандартные вещи: если задана система ОДУ $\dot x=v(t,x)$ то распределение вероятностей на фазовом пространстве удовлетворяет уравнению

$$\rho_t(t,x)+\frac{\partial(\rho v^i)}{\partial x^i}=0$$

, при условии, что начальное распределение $\rho(0,x)=\hat \rho (x)$ известно. Можете переписать это уравнение в виде уравнения Шредингера, положив $\rho=|\psi|^2$. В случае гамильтоновой системы $x=(q,p)$.
Отсюда видно, что распределение будет зависеть, вообще говоря, и от импульсов тоже, и от начального распределения. Более того задача нахождения распределения $\rho(t,x)$ при произвольном $\hat \rho$ эквивалентна задаче об интегрировании исходной системы ДУ (см метод характеристик) Так, что не очень понятно, что Вы, собственно, хотите.

[warlock66613]

fred1996, задача выглядит интересно (буду пробовать решать). pogulyat_vyshel, то, что вы пишете, выглядит не по теме: очевидно, что в задаче просто предлагается рассматривать угол как непрерывно изменяющуюся во времени случайную величину.

[pogulyat_vyshel]

warlock66613 в сообщении #1244254 писал(а):

очевидно, что в задаче просто предлагается рассматривать угол как непрерывно изменяющуюся во времени случайную величину.

случайная величина это функция на вероятностном пространстве. Где определено вероятностное пространство? Как задана вероятностная мера на этом пространстве? почему она задана так а не иначе?

[dsge]

Ну, если надо найти инвариантную меру для потока, индуцируемого динамикой на поверхности уровня энергии, то "вероятностное пространство" очевидно.

[pogulyat_vyshel]

dsge в сообщении #1244263 писал(а):

Ну, если надо найти инвариантную меру для потока, индуцируемого динамикой на поверхности уровня энергии, то "вероятностное пространство" очевидно.

как только что было разъяснено, таких инвариантных мер много , хотя есть и стандартная. Как в этом свете нужно домысливать фразу

fred1996 в сообщении #1244144 писал(а):

Найти функцию распределения плотности вероятности $f(\varphi, \psi)$

по-прежнему непонятно.

[dsge]

pogulyat_vyshel в сообщении #1244264 писал(а):

таких инвариантных мер много

Надо полагать, что имеются в виду не те, что сосредоточены в неподвижных точках (или периодических траекториях).

[pogulyat_vyshel]

dsge в сообщении #1244274 писал(а):

Надо полагать, что имеются в виду не те, что сосредоточены в неподвижных точках (или периодических траекториях).

Пусть так, но на поставленный вопрос я пока ответа не вижу. О каких мерах идет речь и почему именно о них? По какой мере топикстартер желает вероятности считать? Пока у меня складывается впечатление, что ни топикстартер, ни warlock66613 просто отчета себе не отдают в том, что вероятностей без вероятностного пространства и вероятностной меры не бывает.

вот эта мера:

fred1996 в сообщении #1244144 писал(а):

ти функцию распределения плотности вероятности $f(\varphi, \psi)$

плотность которой лишь от половины фазовых переменных зависит, она вообще в какой связи с фазовым потоком находится?

[dsge]

Надо порекомендовать Механику Арнольда (или Арнольда-Авеца).
ИМНО. Путать фазовое и конфигурационное пространства - довольно типичная ситуация у физиков.

[warlock66613]

pogulyat_vyshel в сообщении #1244299 писал(а):

ни топикстартер, ни warlock66613 просто отчета себе не отдают в том, что вероятностей без вероятностного пространства и вероятностной меры не бывает

Я отлично знаю, что не бывает, но не вижу, как незнание вероятностного пространства и вероятностной меры может помешать мне требуемую вероятность посчитать (вот если бы мне надо было дать ей корректное определение - тогда другое дело).

[fred1996]

fred1996 в сообщении #1244144 писал(а):

Найти функцию распределения плотности вероятности $f(\varphi, \psi)$

Вы достаточно долго наблюдаете за хаотическим движением этого маятника.
Какова вероятность того, что в какой-то произвольный момент координаты $(\varphi, \psi)$ будут находиться в интервале $(\varphi_0,\varphi_0+\Delta \varphi) (\psi_0,\psi+\Delta \psi)$?
Очевидно $f(\varphi_0,\psi_0)\Delta \varphi \Delta \psi$.
Первая задача на самом деле детерминирована и в известном смысле движение там четко периодическое.
Вторая задача в общем случае выдает хаотическое движение, так как импульсы, или, если угодно, $\dot{\varphi}$ и $\dot{\psi}$ не дерминированы координатами. Но мы говорим о длительных промежутках времени.

[pogulyat_vyshel]

fred1996 в сообщении #1244498 писал(а):

ы достаточно долго наблюдаете за хаотическим движением этого маятника.

что такое хаотическое движение? определение дайте

fred1996 в сообщении #1244498 писал(а):

Первая задача на самом деле детерминирована и в известном смысле движение там четко периодическое.

в известном смысле, точнее говоря в силу известных теорем, почти все движения там периодическими не являются, но являются квазипериодическими

fred1996 в сообщении #1244498 писал(а):

Какова вероятность того, что в какой-то произвольный момент координаты $(\varphi, \psi)$ будут находиться в интервале $(\varphi_0,\varphi_0+\Delta \varphi) (\psi_0,\psi+\Delta \psi)$?
Очевидно f($\varphi_0,\psi_0)\Delta \varphi \Delta \psi$.

Как уже неоднократно объяснялось, это бессмысленная фраза. Попробуем придать ей смысл. На любом уровне интеграла энергии $\{(q,p)\mid H(q,p)=h\}$ имеется стандартная инвариантная мера (в данной задаче ее можно считать вероятностной), обозначим ее $\mu_h$. Будем использовать ее. Почему именно ее -- это исключительно вопрос постановки задачи. Тогда, да, зафиксировав $h$, можно задать в конфигурационном пространстве множество $U$ и спросить какова мера множества $\{(q,p)\mid q\in U,\quad H(q,p)=h\}$. Так мы получим вероятностную меру на конфигурационном пространстве. Вы это что ли хотели?