2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Система квадратных уравнений
Сообщение21.08.2017, 12:24 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Докажите, что система квадратных уравнений $x^2+16n^2=u^2, ((n+1)^2-x)^2+16n ^2=v^2$ при любых рациональных $n\ne{1}$ имеет решения в рациональных числах $x,u,v$.
Докажите также, что при $n=1$ система рациональных решений не имеет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система квадратных уравнений
Сообщение24.08.2017, 17:23 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Упрощенная задача: докажите, что система уравнений
$x^2+y^2=u^2$
$(1-x)^2+y^2=v^2$
имеет решения в рациональных числах $x,y,u,v$ таких, что $xy\ne{0},x\ne{1},u\ne{v}$ и $y$ целое число

 Профиль  
                  
 
 Re: Система квадратных уравнений
Сообщение25.08.2017, 23:00 


20/04/10
1776
scwec в сообщении #1242760 писал(а):
докажите, что система уравнений
$x^2+y^2=u^2$
$(1-x)^2+y^2=v^2$
имеет решения в рациональных числах $x,y,u,v$ таких, что $xy\ne{0},x\ne{1},u\ne{v}$ и $y$ целое число


В рациональных числах система имеет известное решение. Не придётся далеко ходить, можно посмотреть записи Коровьев в http://dxdy.ru/post1242782.html#p1242782. Получим
$y=\frac{2km}{(k-m)(km+1)}$, где $k$ и $m$ рациональные. Таким образом, эквивалентная задача: доказать, что множество значений $\frac{2km}{(k-m)(km+1)}$ содержит все целые числа при рациональных $k, m$.

Не берусь судить насколько удобна такая переформулировка задачи для доказательства требуемого утверждения, для поиска параметрических решений она удобна.
$\begin{cases}
\left(k-\frac{1}{2 k}+\frac{1}{2}\right)^2+\left(k^2-1\right)^2=\left(k^2+\frac{1}{2 k}-\frac{1}{2}\right)^2,\\
\left(k-\frac{1}{2 k}-\frac{1}{2}\right)^2+\left(k^2-1\right)^2=\left(k^2-\frac{1}{2 k}-\frac{1}{2}\right)^2.
\end{cases}$
$\begin{cases}
\left(4 k \left(k^2-1\right)+\frac{1}{2 k}+\frac{1}{2}\right)^2+4 \left(k^2-1\right)^2 \left(2 k^2-1\right)^2=\left(4 \left(k^2-1\right) k^2+\frac{1}{2
   k}+\frac{1}{2}\right)^2,\\
\left(4 k \left(k^2-1\right)+\frac{1}{2 k}-\frac{1}{2}\right)^2+4 \left(k^2-1\right)^2 \left(2 k^2-1\right)^2=\left(4 \left(k^2-1\right) k^2-\frac{1}{2
   k}+\frac{1}{2}\right)^2.
\end{cases}$

P.S. переформулированную задачу можно свести к поиску рациональной точки на эллиптической кривой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система квадратных уравнений
Сообщение26.08.2017, 10:28 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
lel0lel, с параметрическими решениями всё как надо.
А утверждение
lel0lel в сообщении #1243062 писал(а):
множество значений $\frac{2km}{(k-m)(km+1)}$ содержит все целые числа при рациональных $k, m$
ошибочно.
Например, $y$ не может принимать значения $1,2,4,6,9,11,12,14,16,17,19...$, продолжается бесконечно.
В этих случаях ранг эллиптической кривой с уравнением $w^2=u^3+(1+2y^2)u^2+y^4{u}$, которое бирационально эквивалентно уравнению $y=\frac{2km}{(k-m)(km+1)}$, равен $0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система квадратных уравнений
Сообщение26.08.2017, 11:47 


20/04/10
1776
scwec, спасибо за исправление. Прочитал условие задачи - для любого целого $y$ - отсюда неправильный вывод. В условии, разумеется, ничего подобного нет.

У меня получилось немного другое уравнение кривой $w^2=u^3+(2+1/y^2)u^2+u$. Хотел бы у Вас узнать можно ли показать, что обе кривые имеют одинаковые ранги при заданном целом $y$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Система квадратных уравнений
Сообщение26.08.2017, 12:17 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Заменой $W=wy^3,U=uy^2$ Ваше уравнение приводится к $W^2=U^3+(1+2y^2)U^2+y^4{U}$.
Отсюда и следует одинаковость рангов обеих кривых.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система квадратных уравнений
Сообщение29.08.2017, 13:55 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
По поводу исходной системы из стартовой задачи: поделим оба её уравнения на $(n+1)^4$ ($n\ne{-1}$, при равенстве оба уравнения одинаковы).
Она превращается в знакомую уже систему $(1)$
$X^2+Y^2=U^2$
$(X-1)^2+Y^2=V^2$
где $Y=\dfrac{4n}{(n+1)^2}$ заранее известно.
Для нахождения $X$ воспользуемся уравнением эллиптической кривой, упомянутой lel0lel
$w^2=u^3+(2+1/Y^2)u^2+u\qquad(2)$
Рациональная точка бесконечного порядка на ней, например, $(u,w)=\left(-\dfrac{1}{n},\dfrac{n^2-6n+1}{4n^2}\right)$.
$U=\dfrac{(u^2)/Y-u/Y+uw+w}{2u(u+1)/Y}, V=\dfrac{(u^2)/Y-u/Y-uw-w}{2u(u+1)/Y}$,
а затем $X=\sqrt{U^2-Y^2}$ и $x=X(n+1)^2$
Проведя вычисления, окончательно получаем для исходной системы в переменных $x,u,v$
$x=\dfrac{n(n-3)(n+1)}{n-1}$,
$u=\dfrac{n(n^2-2n+5)}{n-1}$,
$v=\dfrac{5n^2-2n+1}{n-1}$.
Этому решению соответствуют значения параметров $k,m$ в 2-параметрическом решении системы $(1)$
$X=\dfrac{m(k^2-1)}{(k-m)(mk+1)}, Y=\dfrac{2mk}{(k-m)(mk+1)}$ от Коровьев, а именно:
$(k,m)=\left(\dfrac{n-1}{2},\dfrac{n-1}{2n}\right), \left(-\dfrac{2}{n-1},-\dfrac{2n}{n-1}\right), \left(\dfrac{n-1}{2},-\dfrac{2n}{n-1}\right), \left(-\dfrac{2}{n-1},\dfrac{n-1}{2n}\right)$

Осталось доказать, что при $n=1$ рациональных решений исходная система не имеет.
Этот вопрос решается тем, что только при $n=1$ эллиптическая кривая $(2)$ имеет нулевой ранг, а точки кручения решения системы в данном случае не дают.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group