Эквивалентность счетных множеств

[Someone]

realeugene в сообщении #1243522 писал(а):

Он написал, что последовательно вычисляет значения функции.

Ну и что? Этот метод, если мы его будем называть алгоритмом, позволит определить множество значений последовательности?

realeugene в сообщении #1243522 писал(а):

Так я и спираль электроплитки не могу потрогать руками

Можете потрогать. Возможно, с неприятными последствиями. И не надо воспринимать метафору столь буквально. Спираль электроплитки — физический объект, с которым возможно физическое взаимодействие. С натуральным рядом или с единицей физическое взаимодействие невозможно.

realeugene в сообщении #1243522 писал(а):

Никогда не поверю, что вы за полвека изучения математики никогда не сталкивались с натуральными числами. Или что никогда не досчитывали их до единицы. Значит, встречали.

Термин "натуральная единица" не употребляется. Кроме того, натуральных рядов много. И если говорить об арифметике Пеано первого порядка, то в ней натуральный ряд даже не обязан быть счётным. Счётный он в той "конкретной" модели натурального ряда, которая строится в теории множеств ZF. И то мне этот вопрос до конца не ясен, потому что ZF (и ZFC) имеет нестандартные модели.

realeugene в сообщении #1243522 писал(а):

Нет, но я хочу сказать, что, например, существует ровно одно конечное поле каждого порядка, равного целой положительной степени простого числа (с точностью до изоморфизма).

Вот именно: с точностью до изоморфизма. А их, изоморфных, как собак нерезаных — их совокупность образует собственный класс. И в каждом есть единица. И какое это имеет отношение к "отождествлению класса эквивалентности и его представителя"?

realeugene в сообщении #1243522 писал(а):

$f(x)\in L_2$ другой пример, когда отношение принадлежности множеству традиционно используется в "расширенном" смысле, пока это не приводит к недоразумениям.

Да, это распространённый "обычай" — вместо класса эквивалентности использовать представителя. Ну и что? Обычая "неразличения изоморфных объектов" нет. Точнее, когда мы рассматриваем один объект сам по себе и говорим о его внутренних свойствах, мы можем заменить наш объект любым изоморфным ему, и в этом смысле изоморфные объекты "неразличимы". Но только в этом. Как только появляется что-то ещё, сразу же вся неразличимость пропадает.

realeugene в сообщении #1243341 писал(а):

Строго говоря, да, но, с другой стороны, в математической традиции, также, не различать изоморфные объекты, хоть они и различные. В тех случаях, где это "не приводит к неоднозначности", разумеется.

realeugene в сообщении #1243410 писал(а):

Писать $f(x)\in L_2$ несмотря на то, что $L_2$ по построению не содержит ни одной функции, всё-таки не я придумал. И так часто делают, отождествляя классы эквивалентности и их представителей, когда это не может привести к недоразумениям.

Какое отношение "отождествление класса эквивалентности и его представителя" имеет к "неразличению изоморфных объектов"?

[mihaild]

Sinoid в сообщении #1243461 писал(а):

Есть доказательство, в нем в одном месте применялся один алгоритм

Хотя некоторые общие черты с алгоритмами тут и есть, "на самом деле" алгоритм - это вполне конкретная штука (точнее, целая куча разных конкретных штук, в зависимости от формализации вычислений), которой тут нет (и нужно проделать некоторую работу, чтобы определить, что значит, что алгоритм вычисляет данную функцию; для более чем континуальных множеств совсем непонятно даже как можно было бы подавать аргументы на вход - а функции на более чем континуальных множествах рассматривать вполне можно).

Кстати, дальше вы столкнетесь с "принципиально неконструктивными доказательствами существования" - когда существования некоторого объекта можно доказать только с помощью аксиомы выбора - и, соответственно, его никак нельзя построить "явно" ни в каком разумном смысле. Так что "алгоритмоподобными" построениями обойтись не удастся.

[Sinoid]

Mikhail_K в сообщении #1243463 писал(а):

Обычно, множества уже бывают построены (или определены) прежде чем мы начнём говорить о функции, действующей из одного множества в другое.

Так а перед построением (определением) человек разве не представляет в уме, что и для чего он хочет построить? Множества-то были построены кем-то другим. А как их представить мне? Вот и Aritaborian сказал:

Aritaborian в сообщении #1243468 писал(а):

Ну, наверное, стал...

пусть даже

Aritaborian в сообщении #1243468 писал(а):

В каком-то, не слишком понятно определённом смысле

но все же стал. Если для вас этот этап не важен, я искренне рад за вас.

Someone в сообщении #1243543 писал(а):

Этот метод, если мы его будем называть алгоритмом, позволит определить множество значений последовательности?

Ну так и весь натуральный ряд никто не видел, его тоже представляют некоторой его частью, однако ни у кого не возникает вопросов, зачем при иллюстрации того, что такое натуральный ряд приводят некоторую часть его начала.

[realeugene]

Someone в сообщении #1243543 писал(а):

Этот метод, если мы его будем называть алгоритмом, позволит определить множество значений последовательности?

Да, конечно. Именно этим ТС и собирается заниматься при помощи этого метода. Вычислить одно значение, затем вычислить второе, и так далее. Любое значение из множества рано или поздно будет вычислено. При помощи этого метода невозможно проверить, что объект не принадлежит множеству.

Someone в сообщении #1243543 писал(а):

Можете потрогать. Возможно, с неприятными последствиями.

Нет уж, спасибо. Это сами. Я горячую элекроплитку потрогать не могу. Очевидно, когда электроплитку включают в розетку, она для меня перестаёт "существовать в природе".
Ну, ладно, электроплитка. Не особо и хотелось. Вы её потрогать способны - я вам верю. А, вот, как вы считаете, электрон вы "потрогать" можете? А фотон? Не поглотить, в результате чего он прекратит своё существование, а именно "потрогать"?

Someone в сообщении #1243543 писал(а):

Термин "натуральная единица" не употребляется.

Нужно было правильно формулировать условия задачи. Натуральное число - натуральное число. Единица - единица. Вы с ней сталкивались - сталкивались. У нас всё законно.

Someone в сообщении #1243543 писал(а):

Да, это распространённый "обычай" — вместо класса эквивалентности использовать представителя.

Ну, слава богу, что этот "обычай" уже не мой личный.

Someone в сообщении #1243543 писал(а):

Какое отношение "отождествление класса эквивалентности и его представителя" имеет к "неразличению изоморфных объектов"?

Послушайте, вы придрались по формальным основаниям к нестрогой фразе, вокруг которой были сделаны все необходимые оговорки о том, что фраза нестрогая. Разумеется, изоморфные объекты неразличимы только в некотором нестрогом смысле, потому что строго говоря они различны, как было оговорено с самого начала. Но их часто удобно отождествлять, не различая без особой нужды различные изоморфные модели поля, например.
Отождествление класса эквивалентности и его представителя - это был другой, более простой пример, когда различные объекты для сокращения записи удобно отождествлять.

Someone, я никогда не занимался исследованиями в области математики. Давайте, я признаю, что ваши яйца круче, и закончим этот малоосмысленный спор? Вы же умница, мне всегда интересно услышать ваше мнение по самым разным вопросам. Даже, когда я с ним не согласен.

-- 28.08.2017, 09:25 --

Sinoid в сообщении #1243570 писал(а):

Множества-то были построены кем-то другим.

Не обязательно. Достаточно того, что множество с определёнными свойствами существует.
Хотя бы потому, что счётных множеств всего не менее чем континуум. Никто не может перечислить континуум.

[Someone]

realeugene в сообщении #1243586 писал(а):

Да, конечно. Именно этим ТС и собирается заниматься при помощи этого метода. Вычислить одно значение, затем вычислить второе, и так далее. Любое значение из множества рано или поздно будет вычислено. При помощи этого метода невозможно проверить, что объект не принадлежит множеству.

Последняя фраза означает, что найти множество значений последовательности таким методом (рассматриваемым как алгоритм) невозможно. И ТС занимается в этом месте ерундой.

realeugene в сообщении #1243586 писал(а):

Нет уж, спасибо. Это сами. Я горячую элекроплитку потрогать не могу. Очевидно, когда электроплитку включают в розетку, она для меня перестаёт "существовать в природе".
Ну, ладно, электроплитка. Не особо и хотелось. Вы её потрогать способны - я вам верю. А, вот, как вы считаете, электрон вы "потрогать" можете? А фотон? Не поглотить, в результате чего он прекратит своё существование, а именно "потрогать"?

Троллингом решили развлечься?

Someone в сообщении #1243543 писал(а):

И не надо воспринимать метафору столь буквально. Спираль электроплитки — физический объект, с которым возможно физическое взаимодействие. С натуральным рядом или с единицей физическое взаимодействие невозможно.

realeugene в сообщении #1243586 писал(а):

Нужно было правильно формулировать условия задачи. Натуральное число - натуральное число. Единица - единица. Вы с ней сталкивались - сталкивались. У нас всё законно.

Опять.

Someone в сообщении #1243543 писал(а):

натуральных рядов много

И в каждом своя единица. Вы о котором натуральном ряде говорите?

realeugene в сообщении #1243586 писал(а):

Ну, слава богу, что этот "обычай" уже не мой личный.

А я и не говорил, что он ваш личный. Он начинается прямо с младших классов школы, когда начинают изучать дроби и начинают говорить о "равных" дробях. Однако даже в школе эти "равные" дроби явно и обязательно различаются. Потому что на самом деле они не равные, а всего лишь в некотором смысле эквивалентные. А на строгом уровне появляются классы эквивалентности, которые аккуратно не смешиваются с их представителями.

realeugene в сообщении #1243586 писал(а):

Послушайте, вы придрались по формальным основаниям к нестрогой фразе, вокруг которой были сделаны все необходимые оговорки о том, что фраза нестрогая. Разумеется, изоморфные объекты неразличимы только в некотором нестрогом смысле, потому что строго говоря они различны, как было оговорено с самого начала.

Где именно они были оговорены? Дайте ссылку на своё сообщение.

realeugene в сообщении #1243586 писал(а):

Но их часто удобно отождествлять, не различая без особой нужды различные изоморфные модели поля, например.

И огрести кучу проблем, если поле имеет нетождественный автоморфизм. Например, появятся проблемы с определением линейных отображений комплексных векторных пространств.

realeugene в сообщении #1243586 писал(а):

Someone, я никогда не занимался исследованиями в области математики.

Если Вы не разбираетесь в вопросе, то зачем Вы лезете со своими неграмотными ответами в учебный раздел и запутываете спрашивающих?

Sinoid в сообщении #1243570 писал(а):

Так а перед построением (определением) человек разве не представляет в уме, что и для чего он хочет построить?

Разумеется. Если я хочу какой-то объект построить или определить, я должен хорошо понимать, что именно я хочу.

Sinoid в сообщении #1243570 писал(а):

Множества-то были построены кем-то другим. А как их представить мне?

Что представить? Множество значений функции? Если у нас есть функция (отображение) $f\colon X\to Y$, то множество значений есть $fX=\{fx:x\in X\}=\{y:\exists x(x\in X\wedge fx=y)\}$ Или у Вас есть трудности, когда среди значений имеются одинаковые? Здесь достаточно понимать, что "два равных объекта" — это "один объект".

Например, сколько элементов в множестве $\{a,b\}$? А кто его знает. То ли два, то ли один. Мы видим, что элементы имеют разные имена. Можем посмотреть их определения, но и определения могут быть разными. Если мы сможем доказать, что $a=b$, то $\lvert\{a,b\}\rvert=1$. Если сможем доказать, что $a\neq b$, то $\lvert\{a,b\}\rvert=2$. Но может оказаться и так, что ни то, ни другое доказать нельзя. Тогда мы не сможем ответить на вопрос о количестве элементов в этом множестве. Это не надуманная ситуация. Например, в ZFC мы можем рассмотреть множество $\{\aleph_1,2^{\aleph_0}\}$. Сколько в нём элементов? А неизвестно. Это известная проблема: существует ли множество, мощность которого больше мощности натурального ряда, но меньше мощности множества действительных чисел? Доказано, что ответить на этот вопрос нельзя, поскольку в ZFC равенство $2^{\aleph_0}=\aleph_1$ невозможно ни доказать, ни опровергнуть: мы можем считать, что равенство есть, а можем считать, что равенства нет.

[Sinoid]

Someone в сообщении #1243622 писал(а):

Например, сколько элементов в множестве $\{a,b\}$?

Почему вы в данном случае множество обозначили $\{a,b\}$, а не просто буквой $A$? Да потому что вам для пояснения мне мысли, возникшей у вас в голове, о множестве, потребовалось заглянуть внутрь самого множества.

Aritaborian в сообщении #1243430 писал(а):

Ясно, откуда вы взяли эту аналогию, но бессмысленно применять её в данном случае.

А разве имеет смысл при объяснении в школе, что такое точка, не имеющая размера, ставить в тетради бесконечно толстую кляксу (по сравнению с точкой) и говорить, что вот это она самая (точка) и есть; при объяснении, что такое не имеющая толщины прямая, проводить на доске еще более толстым, чем ручка мелом и говорить, что вот это и есть прямая? Вам продолжить?

Someone в сообщении #1243622 писал(а):

Последняя фраза означает, что найти множество значений последовательности таким методом (рассматриваемым как алгоритм) невозможно

Да я и не пытался найти все множество мне лишь нужно было посмотреть, в какое непридуманное мной множество $A$ преобразует непридуманная мной функция $f$ множество $\mathbb{N}$.

realeugene в сообщении #1243486 писал(а):

Sinoid в сообщении #1243461

писал(а):
Разве вы не стали строить в уме множество $A$ с помощью функции $f$?
Нет.

Очень хорошо. Наглядное представление ни в коем случае недопустимо, что вы, боже упаси. Тогда давайте и детям давать представление о натуральных числах ни как о множестве последовательности 1, 2, 3, ..., а с помощью индуктивного определения! А что? Пусть привыкают. Не, конечно, упоминание о нуле мы оттуда выкинем: определение-то для детсадовцев, а в остальном очень даже ничего!

[arseniiv]

Кажется, обсуждение довольно далеко отодвинулось от начальных вопросов, и стоит поставить контрольную точку. Какие из них остались и как, возможно, переформулировались?

[realeugene]

Someone в сообщении #1243622 писал(а):

Последняя фраза означает, что найти множество значений последовательности таким методом (рассматриваемым как алгоритм) невозможно.

Строго говоря это означает, что ТС ограничивается рассмотрением доказательства только для вычислимых функций. Это и есть его ошибка, на которую я ему указал.

Someone в сообщении #1243622 писал(а):

Где именно они были оговорены? Дайте ссылку на своё сообщение.

Тут:

realeugene в сообщении #1243341 писал(а):

Строго говоря, да, но, с другой стороны, в математической традиции, также, не различать изоморфные объекты, хоть они и различные. В тех случаях, где это "не приводит к неоднозначности", разумеется.

В этой фразе сделана куча оговорок, исключающих ваши замечания. Вы же, зачем-то, начали критиковать не точный смысл фразы, а что-то другое.

Someone в сообщении #1243622 писал(а):

Если Вы не разбираетесь в вопросе, то зачем Вы лезете со своими неграмотными ответами в учебный раздел и запутываете спрашивающих?

Претензии к советам ТС есть?

[Someone]

realeugene в сообщении #1243645 писал(а):

Строго говоря это означает, что ТС ограничивается рассмотрением доказательства только для вычислимых функций. Это и есть его ошибка, на которую я ему указал.

Для вычислимых функций этот метод тоже не работает.

realeugene в сообщении #1243645 писал(а):

Тут:

realeugene в сообщении #1243341 писал(а):

Строго говоря, да, но, с другой стороны, в математической традиции, также, не различать изоморфные объекты, хоть они и различные. В тех случаях, где это "не приводит к неоднозначности", разумеется.

В этой фразе сделано куча оговорок, исключающих ваши замечания. Вы же, зачем-то, начали критиковать не точный смысл фразы, а что-то другое.

Такой традиции нет. Нам может быть безразлично, с каким именно из изоморфных объектов мы имеем дело, но различать их мы обязаны, иначе будет плохо. Даже определить изоморфизм нельзя будет. Ещё забавней будет, если один из изоморфных объектов будет подобъектом другого.

realeugene в сообщении #1243645 писал(а):

Претензии к советам ТС есть?

Я здесь занимаюсь почти исключительно претензиями к вашим "советам". И чувствую, что придётся писать жалобу модератору, поскольку Вы не унимаетесь.

[Sinoid]

realeugene в сообщении #1243645 писал(а):

Строго говоря это означает, что ТС ограничивается рассмотрением доказательства только для вычислимых функций.

Да я других-то пока не знаю, я сейчас вообще не знаю, что такое вычислимая функция. Что мне дало ваше замечание?

[mihaild]

Sinoid, возможно, вам будет полезно помнить, что даже если мы интуитивно "строим" объект "по частям", то формально он всё равно "существует целиком". Да, нам может быть удобно интуитивно представлять себе переписывание элементов множества по одному. Это вполне нормально до тех пор, пока вы понимаете, как перейти к формальным конструкциям.
Как получать "интуитивное понимание", нужно ли это делать, и что это вообще такое - отдельный вопрос, не связанный с формальными конструкциями.
Несколько утрируя, множества не надо "представлять", их надо определять. Например, выписыванием свойств, которым они удовлетворяют (при необходимости - доказав, что такое существует, а если нужно - и что такое единственно). "Представлять" их может быть полезно в некоторых случаях, и, возможно, некоторые умные люди могут поделиться какими-то неформальными соображениями, которыми они пользуются для этого. Но никакого "правильного" "представления" нет и быть не может.

[Aritaborian]

Sinoid в сообщении #1243570 писал(а):

Вот и Aritaborian сказал

Я потом ниже апдейтнул в том смысле, что сказал фигню по невнимательности.

[Sinoid]

mihaild в сообщении #1243662 писал(а):

даже если мы интуитивно "строим" объект "по частям", то формально он всё равно "существует целиком".

А я ничего против целостности множества $A$ и не утверждал.

mihaild в сообщении #1243662 писал(а):

"Представлять" их может быть полезно в некоторых случаях

А на начальных этапах изучения вы поневоле себе их представляете: у вас просто еще никакой другой навык не отработан. Эх-хе-хе, мне бы задачник, задачник мне бы на интерпретации, (не)выразимые предикаты, автоморфизмы и все такое, да с ответами, глядишь, и здесь бы меньше глупостей писал.

Aritaborian в сообщении #1243670 писал(а):

Sinoid в сообщении #1243570

писал(а):
Вот и Aritaborian сказал Я потом ниже апдейтнул в том смысле, что сказал фигню по невнимательности.

Но это было потом, когда вы прочитали объяснение более искушенного человека и вы, возможно, оказались готовым его переварить, первый же ваш порыв был совершенно в другом направлении. Наиболее же естественна первая реакция.
В пылу дискуссии все забываю сообщить, извините.

Someone в сообщении #1243492 писал(а):

То, что Вы выложили, даже поленившись дать ссылку на источник

Клини С. К. Введение в метаматематику, стр. 49-50.

[Someone]

Sinoid в сообщении #1243730 писал(а):

А на начальных этапах изучения вы поневоле себе их представляете: у вас просто еще никакой другой навык не отработан.

У меня всё наоборот: когда я изучаю что-то новое для себя, я воспринимаю это на формальном уровне, а наглядные представления появляются потом, когда я уже детально во всём разберусь и наберусь опыта. При этом у меня вырабатывается соответствующая интуиция, и я хорошо понимаю, как связаны мои наглядные представления и формальные определения.

Sinoid в сообщении #1243730 писал(а):

Клини С. К. Введение в метаматематику, стр. 49-50.

Я не имею ничего против того, что пишет Клини. Что касается Брауэра, то в начале XX века ещё много внимания уделяли всяким околоматематическим философствованиям. А раньше эта компонента была ещё значительнее. Я как-то читал статью Фреге (искал там неограниченный принцип свёртывания, который он сформулировал для теории множеств; именно этот принцип привёл к противоречиям типа парадокса Рассела). С моей точки зрения, это просто ужас какой-то. Сплошные философствования и очень мало того, что я привык считать математикой.

[Aritaborian]

Sinoid в сообщении #1243730 писал(а):

Но это было потом, когда вы прочитали объяснение более искушенного человека и вы, возможно, оказались готовым его переварить, первый же ваш порыв был совершенно в другом направлении.

Не совсем так. Сообщение «более искушённого человека» заставило меня перечитать то, на что я отвечал, и осознать, что я был тогда невнимателен и отвечал, строго говоря, не на те слова.