Эквивалентность счетных множеств

[Mikhail_K]

realeugene в сообщении #1243410 писал(а):

Писать $f(x)\in L_2$ несмотря на то, что $L_2$ по построению не содержит ни одной функции, всё-таки не я придумал. И так часто делают, отождествляя классы эквивалентности и их представителей, когда это не может привести к недоразумениям.

Да. Ещё это, например, к топологическим пространствам относится. Например, когда мы говорим "при приклеивании ручки к сфере получается тор", или "при склеивании сторон квадрата таким-то образом получается тор" - на самом деле имеем в виду гомеоморфизм (получившееся в результате склеивания пространство гомеоморфно тору), но договариваемся не отличать его от равенства.

-- 27.08.2017, 13:30 --

Вплоть до того, что под топологическим пространством удобно понимать не множество с топологической структурой, а класс эквивалентности таких множеств по отношению гомеоморфности.

Например, удобно отличать топологическое пространство $S^1$ - окружность - от его конкретных реализаций: окружностей самых разных размеров на каких-нибудь плоскостях или многомерных пространствах, прочих кривых гомеоморфных окружности, отрезков со склеенными концами, подмножеств каких-то совсем негеометрических пространств, и т.д. Удобно понимать так, что само пространство $S^1$, в отличие от его реализаций (по крайней мере некоторых) не имеет формы, размеров и других нетопологических свойств.

[Sinoid]

Aritaborian в сообщении #1243313 писал(а):

Sinoid, ну что вам неясно в очень простом определении: последовательность есть функция, определённая на $\mathbb N$?

Aritaborian, да все понятно, мне просто нужно охватить умом множество $A$. Вот как вы охватили умом множество $A$, загрузили, так сказать, множество $A$ в оперативную память своего мозга?

realeugene в сообщении #1243410 писал(а):

К тому, что ТС пытается пронумеровать элементы рассматриваемого им множества каким-то своим алгоритмом.

Ничего я на том этапе не пытался пронумеровать, повторюсь, я пытался загрузить, так сказать, множество $A$ в оперативную память своего мозга, что необходимо, в принципе, при рассуждении не только в этом случае, но и вообще при решении любой проблемы. И, кстати, никакой это и не мой алгоритм, по существу это алгоритм построения функции $g$, рассматривавшейся в книге.

mihaild в сообщении #1243314 писал(а):

Чуть менее неформально последовательность "существует сразу вся".

С классической точки зрения, с интуиционистской (никак не запомню это слово правильно) же точки зрения

[realeugene]

Sinoid в сообщении #1243425 писал(а):

И, кстати, никакой это и не мой алгоритм, по существу это алгоритм построения функции $g$, рассматривавшейся в книге.

Вот на это я и пытаюсь обратить ваше внимание, что думать про функции в математике как про алгоритмы некорректно. В математике функция в своём базовом понятии - это просто множество упорядоченных пар чисел $(x, y)$, в котором для каждого числа $x$ существует не более одной такой пары. Алгоритма построения такого множества пар чисел вообще может не существовать, тем более, что область определения функции (множество всех значений $x$, образующих пару с каким-нибудь $y$) может быть вообще несчётным. И тем не менее, существует множество (в смысле "много") теорем относительно свойств функций.

[Aritaborian]

Sinoid в сообщении #1243425 писал(а):

Вот как вы охватили умом множество $A$, загрузили, так сказать, множество $A$ в оперативную память своего мозга?

Странными понятиями оперируете.

Sinoid в сообщении #1243425 писал(а):

я пытался загрузить, так сказать, множество $A$ в оперативную память своего мозга, что необходимо, в принципе, при рассуждении не только в этом случае, но и вообще при решении любой проблемы.

Что вы под этим понимаете? Ясно, откуда вы взяли эту аналогию, но бессмысленно применять её в данном случае. А интуиционизм вы вообще в данном случае зря приплели. Есть ZFC, конкретно при обсуждении этих вопросов нам её хватит.

-- 27.08.2017, 15:45 --

realeugene в сообщении #1243429 писал(а):

В математике функция в своём базовом понятии - это просто множество упорядоченных пар чисел $(x, y)$, в котором для каждого числа $x$ существует не более одной такой пары.

Я бы сказал, что вы рассказали о графике функции. А сама функция это упорядоченная тройка $(X, Y, \Gamma \subset X \times Y)$ с оговоренными свойствами множества $\Gamma$.

[realeugene]

Aritaborian в сообщении #1243430 писал(а):

А сама функция

Я специально вынес многозначные функции за базовое определение. Как и функции на нечисловых множествах. Так меня когда-то учили.
Незачем человека раньше времени путать. Он и так сам запутается.

[Aritaborian]

realeugene, я ничего не говорил о многозначных функциях.

[realeugene]

Aritaborian в сообщении #1243436 писал(а):

realeugene, я ничего не говорил о многозначных функциях.

Ваше определение их включает. Так как не ограничивает свойства множества $\Gamma$ (только упоминает, что его свойства должны быть оговорены).

[Aritaborian]

realeugene, не будьте букой. Я имел в виду «оговорены именно так, как вы выше их и оговорили» ;-)

[realeugene]

Aritaborian, тогда в чём состоит принципиальная разница между моим определением и вашим? В моём определении это просто подмножество $R\times R$ с оговоренным свойством однозначности.

[Sinoid]

Aritaborian в сообщении #1243430 писал(а):

Есть ZFC

Да нет еще никакого ZFC, аксиомы ZFC приведены в параграфе 8, обсуждаемая теорема - окончание четвертого.

realeugene в сообщении #1243429 писал(а):

Вот на это я и пытаюсь обратить ваше внимание, что думать про функции в математике как про алгоритмы некорректно

Во-первых, это претензия не ко мне, а к автору книги, во-вторых, а в данный момент мне и не важно понимать, что корректно, что некорректно. Есть доказательство, в нем в одном месте применялся один алгоритм, мне нужно было понять это доказательство я его с помощью участников этого обсуждения и понял, меня сейчас абсолютно не интересуют

realeugene в сообщении #1243341 писал(а):

невычислимым множествам

и другие отклонения от доказываемой теоремы.
Aritaborian, хорошо, моя аналогия ну уж совсем неуместна. Вот вы прочитали в доказательстве про множество $A$ и про функцию $f$, имеющее определенное отношение к множеству $A$. Разве вы не стали строить в уме множество $A$ с помощью функции $f$?

[Mikhail_K]

Sinoid в сообщении #1243461 писал(а):

Да нет еще никакого ZFC, аксиомы ZFC приведены в параграфе 8, обсуждаемая теорема - окончание четвертого.

Так говорить нельзя. Даже если аксиомы ZFC приведены в параграфе 8, фактически они уже неявно используются (или используются какие-то следствия из них) - просто авторы решили, что эти рассуждения можно понять и без явной формулировки аксиом. И уж что они точно не имели в виду - так это что читатель будет интерпретировать текст через призму интуиционизма (если это не было явно оговорено).

-- 27.08.2017, 17:07 --

Sinoid в сообщении #1243461 писал(а):

Вот вы прочитали в доказательстве про множество $A$ и про функцию $f$, имеющее определенное отношение к множеству $A$. Разве вы не стали строить в уме множество $A$ с помощью функции $f$?

Это очень странное утверждение. Обычно, множества уже бывают построены (или определены) прежде чем мы начнём говорить о функции, действующей из одного множества в другое.

[Aritaborian]

realeugene в сообщении #1243456 писал(а):

в чём состоит принципиальная разница между моим определением и вашим?

Ну как это, в чём? В том, что я называю функцию упорядоченной тройкой бла-бла-бла... а ваше определение считаю определением графика функции и лишь частью моего определения. Спор здесь не между нами лично, именно такое различие встречается в учебниках и кое-кто из авторитетных форумчан, думаю, мог бы это подтвердить.

Sinoid в сообщении #1243461 писал(а):

Да нет еще никакого ZFC

Ну тогда уж тем более никакой интуиционизм приплетать не нужно.

Sinoid в сообщении #1243461 писал(а):

Разве вы не стали строить в уме множество $A$ с помощью функции $f$?

Ну, наверное, стал... В каком-то, не слишком понятно определённом смысле. Процессы, происходящие в моём сознании при решении задачи, не относятся к математике как таковой.

-- 27.08.2017, 17:20 --

Sinoid в сообщении #1243461 писал(а):

Разве вы не стали строить в уме множество $A$ с помощью функции $f$?

Ой, Mikhail_K выразился гораздо чётче, а я был невнимателен. Хотя кто знает, что вы там имели в виду. Вас очень сложно понять, хотя очень хочется помочь.

[realeugene]

Sinoid в сообщении #1243461 писал(а):

Разве вы не стали строить в уме множество $A$ с помощью функции $f$?

Нет. Для доказательства этой теоремы достаточно четырёх вещей:

1. Возможности из любого непустого множества выбрать один элемент.
2. Существование в любом подмножестве множества натуральных чисел минимального элемента.
3. Определения понятия функции (кстати, тут функции имеют нечисловые значения) и то, что для любого элемента множества значений функции можно построить подмножество множества определения функции, значение функции на каждом элементе которого равно выбранному элементу множества значений (обращение функции).
4. Схемы доказательства по индукции.

При этом нигде явно не используется сама функция $f(x)$ и не выписывается множество $A$.

Кстати, каждый из упомянутых шагов не вполне тривиален, если копнуть. Например, мы ничего не знаем про то, как именно из бесконечного множества нам выбрать один элемент, мы знаем только, что это сделать возможно.

Вру. Выбор тут не нужен. Тут достаточно умения строить прообраз для любого подмножества области значения функции. Но это прообраз бесконечного множества. И искать минимальный элемент в бесконечном подмножестве $N$ всё равно нужно.

[Someone]

realeugene в сообщении #1243410 писал(а):

Писать $f(x)\in L_2$ несмотря на то, что $L_2$ по построению не содержит ни одной функции, всё-таки не я придумал. И так часто делают, отождествляя классы эквивалентности и их представителей, когда это не может привести к недоразумениям.

realeugene в сообщении #1243341 писал(а):

Строго говоря, да, но, с другой стороны, в математической традиции, также, не различать изоморфные объекты, хоть они и различные. В тех случаях, где это "не приводит к неоднозначности", разумеется.

Вы хотите сказать, что класс эквивалентности изоморфен своему элементу?

realeugene в сообщении #1243410 писал(а):

К тому, что ТС пытается пронумеровать элементы рассматриваемого им множества каким-то своим алгоритмом.

Он употреблял слово "алгоритм"? Я не заметил. Там только какое-то описание, непонятно зачем нужное. И, кроме того, за пределами рекурсивного анализа слово "алгоритм" имеет несколько неопределённый смысл.

realeugene в сообщении #1243410 писал(а):

Хотите начать философский диспут "о природе единицы"?

Нет. Философский диспут к математике никакого отношения не имеет. А вот что я действительно хотел бы, так это чтобы Вы поняли, что математические понятия — это логические конструкции, существующие в психике человека, а вовсе не физические объекты, которые можно потрогать руками.

realeugene в сообщении #1243410 писал(а):

Я подразумевал натуральную единицу.

Что такое "натуральная единица"? Никогда не встречал, хотя математикой усиленно занимаюсь более пятидесяти лет.

Mikhail_K в сообщении #1243411 писал(а):

Да. Ещё это, например, к топологическим пространствам относится. Например, когда мы говорим "при приклеивании ручки к сфере получается тор", или "при склеивании сторон квадрата таким-то образом получается тор" - на самом деле имеем в виду гомеоморфизм (получившееся в результате склеивания пространство гомеоморфно тору), но договариваемся не отличать его от равенства.

Извините, но я выражусь грубо: это полная чушь. Поверьте мне как профессиональному математику, специализирующемуся в общей топологии. Никто не договаривается "не отличать гомеоморфизм (или изоморфизм) от равенства". Такая договорённость сразу же породит кучу неразрешимых проблем. Потому что тех же торов, лежащих, например, в $\mathbb R^3$, пруд пруди, и если их все считать равными, то всё коллапсирует, поскольку такое соглашение явно противоречит аксиомам равенства.

Mikhail_K в сообщении #1243411 писал(а):

Вплоть до того, что под топологическим пространством удобно понимать не множество с топологической структурой, а класс эквивалентности таких множеств по отношению гомеоморфности.

Вам не кажется странным, что до такого "удобства" никто не додумался?

Mikhail_K в сообщении #1243411 писал(а):

Например, удобно отличать топологическое пространство $S^1$ - окружность - от его конкретных реализаций: окружностей самых разных размеров на каких-нибудь плоскостях или многомерных пространствах, прочих кривых гомеоморфных окружности, отрезков со склеенными концами, подмножеств каких-то совсем негеометрических пространств, и т.д. Удобно понимать так, что само пространство $S^1$, в отличие от его реализаций (по крайней мере некоторых) не имеет формы, размеров и других нетопологических свойств.

Откуда Вы взяли такие "удобства"?

Sinoid в сообщении #1243425 писал(а):

с интуиционистской (никак не запомню это слово правильно) же точки зрения

Извините, при всём моём уважении к Брауэру я с ним не соглашусь. То, что Вы выложили, даже поленившись дать ссылку на источник и нормально процитировать — это околоматематический псевдофилософский трёп, не имеющий отношения к математике. Я достаточно знаком с конструктивимзмом, чтобы понять, что конструктивный натуральный ряд никуда не "растёт" — точно так же, как и в классической математике. В обоих случаях, если нам потребовалось некоторое натуральное число, удивительным образом оказывается, что натуральный ряд до него уже "дорос".

realeugene в сообщении #1243432 писал(а):

Я специально вынес многозначные функции

Многозначная функция — не функция. Хотя ей можно сопоставить некоторую функцию. С нечисловыми значениями (оговариваю, поскольку Вы заявили, что рассматриваете функции из $\mathbb R$ в $\mathbb R$).

[realeugene]

Someone в сообщении #1243492 писал(а):

Он употреблял слово "алгоритм"?

Он написал, что последовательно вычисляет значения функции. Тут.

Someone в сообщении #1243492 писал(а):

А вот что я действительно хотел бы, так это чтобы Вы поняли, что математические понятия — это логические конструкции, существующие в психике человека, а вовсе не физические объекты, которые можно потрогать руками.

Так я и спираль электроплитки не могу потрогать руками, не говоря уже о всяких электронах. Плохой критерий того, что "существует в природе".
Я думаю, что "логические конструкции" отражают свойства нашего мира, и, поэтому, тоже существуют в природе.

Someone в сообщении #1243492 писал(а):

Что такое "натуральная единица"? Никогда не встречал, хотя математикой усиленно занимаюсь более пятидесяти лет.

Никогда не поверю, что вы за полвека изучения математики никогда не сталкивались с натуральными числами. Или что никогда не досчитывали их до единицы. Значит, встречали.

Someone в сообщении #1243492 писал(а):

Вы хотите сказать, что класс эквивалентности изоморфен своему элементу?

Нет, но я хочу сказать, что, например, существует ровно одно конечное поле каждого порядка, равного целой положительной степени простого числа (с точностью до изоморфизма). С $f(x)\in L_2$ другой пример, когда отношение принадлежности множеству традиционно используется в "расширенном" смысле, пока это не приводит к недоразумениям.