Cходимость по мере

[Lister]

Здравствуйте. Помогите, пожалуйста, построить последовательность функций $f_n(x)$, которая сходится к функции $f(x)$ по мере на $\mathbb R$ ($f_n(x) \to f(x)$ по мере), однако последовательность $e^{f_n(x)}$ не сходится к $e^{f(x)}$ по мере на $\mathbb R$?
Спасибо!

[Brukvalub]

Проверьте требуемое для последовательности

\[ f_n (x) = x + \frac{1}{n} \]

[Lister]

Brukvalub, cпасибо!

[Lister]

Хмм, посмотрел сейчас еще раз - не могли бы Вы пояснить, почему последовательность $e^{x+\frac 1 n}$ не сходится по мере к $e^{x}$? Ведь предельной функцией в данном случае будет ${e^{x}}$? Тогда получаем, что $\forall \varepsilon > 0 \lim\limits_{n \to \infty}\mu(x \in \mathbb R| e^{x}(e^{\frac 1 n}-1)>\varepsilon) =0$, т.к. множитель в скобках стремится к нулю при $n$, стремящемся к бесконечности.

[ewert]

просто потому, что интервал, задаваемый этим неравенством -- полубесконечен, и мера его бесконечна, и никак к нулю стремиться не может, увы

[Brukvalub]

Укажите явно вот это множество: (x \in \mathbb R| e^{x}(e^{\frac 1 n}-1)>\varepsilon), тогда все прояснится.

[Lister]

Почему-то мне казалось, что стоящее в скобках выражение в пределе дает нуль, поэтому множество точек, задаваемых этим неравенством - пустое множество, ибо утверждение $\forall \varepsilon>0$ $(e^{x}\cdot 0)>\varepsilon$ неверно.

[ewert]

Lister писал(а):

Почему-то мне казалось, что стоящее в скобках выражение в пределе дает нуль, поэтому множество точек, задаваемых этим неравенством - пустое множество, ибо утверждение $\forall \varepsilon>0$ $(e^{x}\cdot 0)>\varepsilon$ неверно.

чего-то мне кажется, что Вы перепутали предел меры и меру предела, но Вы, наверное, и сами это понимаете.

[Brukvalub]

Lister писал(а):

Почему-то мне казалось, что стоящее в скобках выражение в пределе дает нуль

Я же не спрашивал Вас про предел, если хотите что-либо понять, то ответьте именно на мой вопрос.

[Lister]

Похоже, я действительно перепутал предел меры и меру предела .
Brukvalub, вы имели ввиду явное выражение для $x$ при фиксированных $\varepsilon$ и $n$ -
$x > \ln \frac \varepsilon {e^{\frac 1 n} -1}$?

[AD]

Да-да, вот что-то типа этого. А теперь осталось сообразить, чему же равна мера этого множества

$$\mu\left\{x\in\mathbb{R}:x > \ln \frac \varepsilon {e^{\frac 1 n} -1}\right\}=?(\varepsilon,n)$$

[Lister]

Я так понимаю, что мера просто равна бесконечности, т.к. сверху ограничения для $x$ нет.

[AD]

Lister писал(а):

Я так понимаю, что мера просто равна бесконечности, т.к. сверху ограничения для $x$ нет.

Утверждение верно, но доказательства вы не предоставили. У множества натуральных чисел $\mathbb{N}$ мера нуль, хотя оно тоже неограничено сверху.

[Lister]

Ну ведь здесь $x$ принимает вещественные значения, значит, множество всех иксов несчетно и в любом случае его мера больше нуля, или требуется более строгое доказательство?

[Brukvalub]

Lister писал(а):

Ну ведь здесь $x$ принимает вещественные значения, значит, множество всех иксов несчетно и в любом случае его мера больше нуля, или требуется более строгое доказательство?

Требуется строже, много строже, безупречно строго, ведь Вы вышли не в башорг, а на Форум МЕХ-МАТА!!!