2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Задача о разложении матрицы
Сообщение25.08.2017, 14:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
18034
Москва
В. Войтик в сообщении #1242892 писал(а):
svv в сообщении #1242749 писал(а):
На всякий случай спрошу, Вы же не думаете, что условия $\det Z=1$ достаточно, чтобы $Z$ была ортогональной?

Матрица Z есть матрица поворота, а такие матрицы всегда с детерминантом единица. Поэтому не понял Вашего вопроса.
А Вы встречали такие термины: "необходимое условие", "достаточное условие"? Разницу между ними знаете? Например, матрица $$\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&2\\0&0&1\end{pmatrix}$$ является ли ортогональной?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о разложении матрицы
Сообщение25.08.2017, 14:46 
Аватара пользователя


29/01/09
397
Someone в сообщении #1242906 писал(а):
А Вы встречали такие термины: "необходимое условие", "достаточное условие"? Разницу между ними знаете?

Знаю. Но вообще-то физикам этого не требуется знать.
Someone в сообщении #1242906 писал(а):
Например, матрица $$\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&2\\0&0&1\end{pmatrix}$$ является ли ортогональной?

Я знаю, что это не матрица поворота и мне этого достаточно :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о разложении матрицы
Сообщение25.08.2017, 15:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
В. Войтик в сообщении #1242892 писал(а):
После нахождения главных значений $B^{(\mu)}$ и главных векторов $n_{\mu}$ заметим, что главные вектора матрицы В являются главными векторами матрицы Y. Поэтому дальнейшее очевидно. Главными значениями матрицы Y являются значения $Y^{(\mu)}=\sqrt{B^{(\mu)}}$.
Если ограничений на $Y$ не накладывается, то $Y^{(\mu)} = \pm \sqrt{B^{(\mu)}}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о разложении матрицы
Сообщение25.08.2017, 15:55 
Аватара пользователя


29/01/09
397
Xaositect в сообщении #1242939 писал(а):
Если ограничений на $Y$ не накладывается, то $Y^{(\mu)} = \pm \sqrt{B^{(\mu)}}$
Спасибо большое. А вообще ход решения правильный?
Я вот насчёт этого:
В. Войтик в сообщении #1242892 писал(а):
заметим, что главные вектора матрицы В являются главными векторами матрицы Y.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о разложении матрицы
Сообщение25.08.2017, 16:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Надо сказать, что $B$ не только симметричная, но и неотрицательно определенная, чтобы собственные значения были неотрицательны и из них можно было извлечь корень.

Еще там возникают проблемы, когда есть совпадающие собственные числа. Тогда не все собственные векторы $B$ обязательно являются собственными векторами $Y$ (если, опять же, не ограничивать знак). Например, для единичной матрицы $B$ любой вектор будет собственным, а для $Y = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ - не все, но при этом $Y^2 = B$.

Если знак зафиксировать, как у Вас, тогда такого не будет, и действительно любой собственный вектор $B$ будет собственным вектором $Y$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о разложении матрицы
Сообщение25.08.2017, 16:21 
Аватара пользователя


29/01/09
397
Всё что хотел я выяснил. Всем участникам обсуждения приношу большую благодарность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о разложении матрицы
Сообщение25.08.2017, 16:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
18034
Москва
В. Войтик в сообщении #1242913 писал(а):
Я знаю, что это не матрица поворота и мне этого достаточно
Откуда Вы это знаете? У неё определитель равен единице.

Ну ладно, эта матрица явно не является матрицей поворота. А может быть более замаскированный случай. Что тогда?

В. Войтик в сообщении #1242913 писал(а):
Но вообще-то физикам этого не требуется знать.
У Вас очень странные представления о физиках.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о разложении матрицы
Сообщение25.08.2017, 16:52 
Аватара пользователя


29/01/09
397
Someone в сообщении #1242962 писал(а):
Ну ладно, эта матрица явно не является матрицей поворота. А может быть более замаскированный случай. Что тогда?

Например?
В. Войтик в сообщении #1242913 писал(а):
У Вас очень странные представления о физиках.
На самом деле стандартные :roll: Ну вот например взгляды Ландау.
http://dxdy.ru/post376081.html#p376081

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о разложении матрицы
Сообщение25.08.2017, 18:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
18034
Москва
В. Войтик в сообщении #1242968 писал(а):
На самом деле стандартные :roll: Ну вот например взгляды Ландау.
post376081.html#p376081
Мне они не кажутся стандартными. Не говоря уже о том, что математический аппарат теоретической физики с того времени, когда Ландау об этом говорил, сильно расширился. А уж понимать, чем необходимое условие отличается от достаточного — это отнюдь не логические упражнения. Это жизненная необходимость, чтобы не говорить примитивные глупости.

В. Войтик в сообщении #1242968 писал(а):
Например?
$$\begin{pmatrix}\frac 18(2\sqrt{2}-\sqrt{6})&-\frac 18(6+\sqrt{2})&\frac 5{12}\sqrt{2}\\ \frac 18(2+3\sqrt{2})&\frac 18(\sqrt{6}-2\sqrt{3})&-\frac 14\sqrt{6}\\ \frac 14\sqrt{6}&\frac 14\sqrt{2}&\frac 5{12}\sqrt{2}\end{pmatrix}$$ Это является матрицей поворота или нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о разложении матрицы
Сообщение25.08.2017, 19:13 
Аватара пользователя


29/01/09
397
Someone в сообщении #1243012 писал(а):
Мне они не кажутся стандартными.
Не знаю как сейчас дело обстоит в вузах. Если это не так (то есть математики по прежнему требуют от студентов - физиков всякую ерунду вместо умения считать), то плохо.

Цитата:
Не говоря уже о том, что математический аппарат теоретической физики с того времени, когда Ландау об этом говорил, сильно расширился.
Так тем более! Студентов надо научить многим аналитическим методам. Надо учить считать, а не разными логическими упражнениями.

Цитата:
А уж понимать, чем необходимое условие отличается от достаточного — это отнюдь не логические упражнения. Это жизненная необходимость, чтобы не говорить примитивные глупости.
А вот с этим согласен. Но это скорее школьный курс логики. Он был одно время в средних классах школы после войны насколько я знаю.

Цитата:
$$\begin{pmatrix}\frac 18(2\sqrt{2}-\sqrt{6})&-\frac 18(6+\sqrt{2})&\frac 5{12}\sqrt{2}\\ \frac 18(2+3\sqrt{2})&\frac 18(\sqrt{6}-2\sqrt{3})&-\frac 14\sqrt{6}\\ \frac 14\sqrt{6}&\frac 14\sqrt{2}&\frac 5{12}\sqrt{2}\end{pmatrix}$$ Это является матрицей поворота или нет?

Нет не является. Не выполняется условие ортогональности матрицы. Но Вы я вижу постарались её придумывая :wink: . Проверим например условие $ a^{2}_{11}+a^{2}_{21}+a^{2}_{31}=1$. Посмотрим только на коэффициенты при корнях. Получим в левой части равенства $-\frac{1}{8}\sqrt{3}+\frac{3}{16}\sqrt{2}$$$
, что как понятно не ноль.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о разложении матрицы
Сообщение25.08.2017, 19:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
18034
Москва
В. Войтик в сообщении #1243023 писал(а):
математики по прежнему требуют от студентов - физиков всякую ерунду вместо умения считать
Я думаю, их учат понимать, что они делают.

В. Войтик в сообщении #1243023 писал(а):
Но это скорее школьный курс логики.
Не знаю. Я никакого курса логики в школе не застал. Хотя разницу между необходимым условием и достаточным условием понимал.

В. Войтик в сообщении #1243023 писал(а):
Проверим например условие $ a^{2}_{11}+a^{2}_{21}+a^{2}_{31}=1$.
Это первый столбец. Там опечатка. Должно быть $$\begin{pmatrix}\frac 18(2\sqrt{3}-\sqrt{6})&-\frac 18(6+\sqrt{2})&\frac 5{12}\sqrt{2}\\ \frac 18(2+3\sqrt{2})&\frac 18(\sqrt{6}-2\sqrt{3})&-\frac 14\sqrt{6}\\ \frac 14\sqrt{6}&\frac 14\sqrt{2}&\frac 5{12}\sqrt{2}\end{pmatrix}.$$ Но обратите внимание, что Вы начали проверять не определитель, а непосредственно ортогональность. А в своих объяснениях сказали про определитель. Что для физика так же нехорошо, как для математика.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о разложении матрицы
Сообщение25.08.2017, 20:26 
Аватара пользователя


29/01/09
397
Someone в сообщении #1243029 писал(а):

Не знаю. Я никакого курса логики в школе не застал. Хотя разницу между необходимым условием и достаточным условием понимал.
Я тоже. Я имею ввиду вот этот курс
http://sovietime.ru/logika/logika-1954-god-sovetskij-uchebnik-skachat Обратите внимание на содержание учебника. По моему мнению зря курс логики исключили из программы средней школы.

Цитата:
Это первый столбец. Там опечатка. Должно быть $$\begin{pmatrix}\frac 18(2\sqrt{3}-\sqrt{6})&-\frac 18(6+\sqrt{2})&\frac 5{12}\sqrt{2}\\ \frac 18(2+3\sqrt{2})&\frac 18(\sqrt{6}-2\sqrt{3})&-\frac 14\sqrt{6}\\ \frac 14\sqrt{6}&\frac 14\sqrt{2}&\frac 5{12}\sqrt{2}\end{pmatrix}.$$


Всё равно ортогональность не выполняется. Проверим
$ a^{2}_{13}+a^{2}_{23}+a^{2}_{33}=1$. Получим $\frac{50}{144}+\frac{6}{16}+\frac{50}{144} \neq 1
$

Цитата:
Но обратите внимание, что Вы начали проверять не определитель, а непосредственно ортогональность. А в своих объяснениях сказали про определитель. Что для физика так же нехорошо, как для математика.
Вы поймите: физик, что житель Крайнего Севера- о чём видит, то и поёт. Вы например знаете такие матрицы
которые ортогональны, но их детерминант не равен единице. А мне они просто в голову не пришли. Я имел ввиду матрицу поворота, когда говорил об ортогональности матрицы Z, а у таких матриц детерминант равен 1.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о разложении матрицы
Сообщение25.08.2017, 20:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
В. Войтик в сообщении #1243034 писал(а):
Вы поймите: физик, что житель Крайнего Севера- о чём видит, то и поёт. Вы например знаете такие матрицы
которые ортогональны, но их детерминант не равен единице.
Тут как раз ничего сложного нет, потому что кроме поворотов есть еще отражения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о разложении матрицы
Сообщение25.08.2017, 21:02 
Аватара пользователя


29/01/09
397
Аа. Вот какие матрицы вы имеете ввиду... Ну для квантовой физики они полезны, да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о разложении матрицы
Сообщение25.08.2017, 22:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
18034
Москва
В. Войтик в сообщении #1243034 писал(а):
Всё равно ортогональность не выполняется.
Разумеется, не выполняется. Но выяснили Вы это вовсе не с помощью определителя.

В. Войтик в сообщении #1243034 писал(а):
Вы например знаете такие матрицы
которые ортогональны, но их детерминант не равен единице.
Определитель ортогональной матрицы равен $\pm 1$.

В. Войтик в сообщении #1243034 писал(а):
Я имел ввиду матрицу поворота, когда говорил об ортогональности матрицы Z, а у таких матриц детерминант равен 1.
У матрицы поворота — да. Но Вы же не можете это выяснить без вычислений. И Вы должны проверить ортогональность и убедиться, что определитель равен $1$, а не $-1$. Ни проверки ортогональности, ни проверки определителя отдельно недостаточно. Если Вы проверите что-то одно, то можете получить ошибочный результат.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 31 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Mikhail_K


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group