Задача о разложении матрицы

[Someone]

В. Войтик в сообщении #1242892 писал(а):

svv в сообщении #1242749 писал(а):

На всякий случай спрошу, Вы же не думаете, что условия $\det Z=1$ достаточно, чтобы $Z$ была ортогональной?

Матрица Z есть матрица поворота, а такие матрицы всегда с детерминантом единица. Поэтому не понял Вашего вопроса.

А Вы встречали такие термины: "необходимое условие", "достаточное условие"? Разницу между ними знаете? Например, матрица

$$\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&2\\0&0&1\end{pmatrix}$$

является ли ортогональной?

[В. Войтик]

Someone в сообщении #1242906 писал(а):

А Вы встречали такие термины: "необходимое условие", "достаточное условие"? Разницу между ними знаете?

Знаю. Но вообще-то физикам этого не требуется знать.

Someone в сообщении #1242906 писал(а):

Например, матрица

$$\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&2\\0&0&1\end{pmatrix}$$

является ли ортогональной?

Я знаю, что это не матрица поворота и мне этого достаточно

[Xaositect]

В. Войтик в сообщении #1242892 писал(а):

После нахождения главных значений $B^{(\mu)}$ и главных векторов $n_{\mu}$ заметим, что главные вектора матрицы В являются главными векторами матрицы Y. Поэтому дальнейшее очевидно. Главными значениями матрицы Y являются значения $Y^{(\mu)}=\sqrt{B^{(\mu)}}$.

Если ограничений на $Y$ не накладывается, то $Y^{(\mu)} = \pm \sqrt{B^{(\mu)}}$

[В. Войтик]

Xaositect в сообщении #1242939 писал(а):

Если ограничений на $Y$ не накладывается, то $Y^{(\mu)} = \pm \sqrt{B^{(\mu)}}$

Спасибо большое. А вообще ход решения правильный?
Я вот насчёт этого:

В. Войтик в сообщении #1242892 писал(а):

заметим, что главные вектора матрицы В являются главными векторами матрицы Y.

[Xaositect]

Надо сказать, что $B$ не только симметричная, но и неотрицательно определенная, чтобы собственные значения были неотрицательны и из них можно было извлечь корень.

Еще там возникают проблемы, когда есть совпадающие собственные числа. Тогда не все собственные векторы $B$ обязательно являются собственными векторами $Y$ (если, опять же, не ограничивать знак). Например, для единичной матрицы $B$ любой вектор будет собственным, а для $Y = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ - не все, но при этом $Y^2 = B$.

Если знак зафиксировать, как у Вас, тогда такого не будет, и действительно любой собственный вектор $B$ будет собственным вектором $Y$.

[В. Войтик]

Всё что хотел я выяснил. Всем участникам обсуждения приношу большую благодарность.

[Someone]

В. Войтик в сообщении #1242913 писал(а):

Я знаю, что это не матрица поворота и мне этого достаточно

Откуда Вы это знаете? У неё определитель равен единице.

Ну ладно, эта матрица явно не является матрицей поворота. А может быть более замаскированный случай. Что тогда?

В. Войтик в сообщении #1242913 писал(а):

Но вообще-то физикам этого не требуется знать.

У Вас очень странные представления о физиках.

[В. Войтик]

Someone в сообщении #1242962 писал(а):

Ну ладно, эта матрица явно не является матрицей поворота. А может быть более замаскированный случай. Что тогда?

Например?

В. Войтик в сообщении #1242913 писал(а):

У Вас очень странные представления о физиках.

На самом деле стандартные Ну вот например взгляды Ландау.
http://dxdy.ru/post376081.html#p376081

[Someone]

В. Войтик в сообщении #1242968 писал(а):

На самом деле стандартные Ну вот например взгляды Ландау.
post376081.html#p376081

Мне они не кажутся стандартными. Не говоря уже о том, что математический аппарат теоретической физики с того времени, когда Ландау об этом говорил, сильно расширился. А уж понимать, чем необходимое условие отличается от достаточного — это отнюдь не логические упражнения. Это жизненная необходимость, чтобы не говорить примитивные глупости.

В. Войтик в сообщении #1242968 писал(а):

Например?

$$\begin{pmatrix}\frac 18(2\sqrt{2}-\sqrt{6})&-\frac 18(6+\sqrt{2})&\frac 5{12}\sqrt{2}\\ \frac 18(2+3\sqrt{2})&\frac 18(\sqrt{6}-2\sqrt{3})&-\frac 14\sqrt{6}\\ \frac 14\sqrt{6}&\frac 14\sqrt{2}&\frac 5{12}\sqrt{2}\end{pmatrix}$$

Это является матрицей поворота или нет?

[В. Войтик]

Someone в сообщении #1243012 писал(а):

Мне они не кажутся стандартными.

Не знаю как сейчас дело обстоит в вузах. Если это не так (то есть математики по прежнему требуют от студентов - физиков всякую ерунду вместо умения считать), то плохо.

Цитата:

Не говоря уже о том, что математический аппарат теоретической физики с того времени, когда Ландау об этом говорил, сильно расширился.

Так тем более! Студентов надо научить многим аналитическим методам. Надо учить считать, а не разными логическими упражнениями.

Цитата:

А уж понимать, чем необходимое условие отличается от достаточного — это отнюдь не логические упражнения. Это жизненная необходимость, чтобы не говорить примитивные глупости.

А вот с этим согласен. Но это скорее школьный курс логики. Он был одно время в средних классах школы после войны насколько я знаю.

Цитата:

$$\begin{pmatrix}\frac 18(2\sqrt{2}-\sqrt{6})&-\frac 18(6+\sqrt{2})&\frac 5{12}\sqrt{2}\\ \frac 18(2+3\sqrt{2})&\frac 18(\sqrt{6}-2\sqrt{3})&-\frac 14\sqrt{6}\\ \frac 14\sqrt{6}&\frac 14\sqrt{2}&\frac 5{12}\sqrt{2}\end{pmatrix}$$

Это является матрицей поворота или нет?

Нет не является. Не выполняется условие ортогональности матрицы. Но Вы я вижу постарались её придумывая . Проверим например условие $ a^{2}_{11}+a^{2}_{21}+a^{2}_{31}=1$. Посмотрим только на коэффициенты при корнях. Получим в левой части равенства $-\frac{1}{8}\sqrt{3}+\frac{3}{16}\sqrt{2}$$$
, что как понятно не ноль.

[Someone]

В. Войтик в сообщении #1243023 писал(а):

математики по прежнему требуют от студентов - физиков всякую ерунду вместо умения считать

Я думаю, их учат понимать, что они делают.

В. Войтик в сообщении #1243023 писал(а):

Но это скорее школьный курс логики.

Не знаю. Я никакого курса логики в школе не застал. Хотя разницу между необходимым условием и достаточным условием понимал.

В. Войтик в сообщении #1243023 писал(а):

Проверим например условие $ a^{2}_{11}+a^{2}_{21}+a^{2}_{31}=1$.

Это первый столбец. Там опечатка. Должно быть

$$\begin{pmatrix}\frac 18(2\sqrt{3}-\sqrt{6})&-\frac 18(6+\sqrt{2})&\frac 5{12}\sqrt{2}\\ \frac 18(2+3\sqrt{2})&\frac 18(\sqrt{6}-2\sqrt{3})&-\frac 14\sqrt{6}\\ \frac 14\sqrt{6}&\frac 14\sqrt{2}&\frac 5{12}\sqrt{2}\end{pmatrix}.$$

Но обратите внимание, что Вы начали проверять не определитель, а непосредственно ортогональность. А в своих объяснениях сказали про определитель. Что для физика так же нехорошо, как для математика.

[В. Войтик]

Someone в сообщении #1243029 писал(а):

Не знаю. Я никакого курса логики в школе не застал. Хотя разницу между необходимым условием и достаточным условием понимал.

Я тоже. Я имею ввиду вот этот курс
http://sovietime.ru/logika/logika-1954-god-sovetskij-uchebnik-skachat Обратите внимание на содержание учебника. По моему мнению зря курс логики исключили из программы средней школы.

Цитата:

Это первый столбец. Там опечатка. Должно быть

$$\begin{pmatrix}\frac 18(2\sqrt{3}-\sqrt{6})&-\frac 18(6+\sqrt{2})&\frac 5{12}\sqrt{2}\\ \frac 18(2+3\sqrt{2})&\frac 18(\sqrt{6}-2\sqrt{3})&-\frac 14\sqrt{6}\\ \frac 14\sqrt{6}&\frac 14\sqrt{2}&\frac 5{12}\sqrt{2}\end{pmatrix}.$$

Всё равно ортогональность не выполняется. Проверим
$ a^{2}_{13}+a^{2}_{23}+a^{2}_{33}=1$. Получим $\frac{50}{144}+\frac{6}{16}+\frac{50}{144} \neq 1 $

Цитата:

Но обратите внимание, что Вы начали проверять не определитель, а непосредственно ортогональность. А в своих объяснениях сказали про определитель. Что для физика так же нехорошо, как для математика.

Вы поймите: физик, что житель Крайнего Севера- о чём видит, то и поёт. Вы например знаете такие матрицы
которые ортогональны, но их детерминант не равен единице. А мне они просто в голову не пришли. Я имел ввиду матрицу поворота, когда говорил об ортогональности матрицы Z, а у таких матриц детерминант равен 1.

[Xaositect]

В. Войтик в сообщении #1243034 писал(а):

Вы поймите: физик, что житель Крайнего Севера- о чём видит, то и поёт. Вы например знаете такие матрицы
которые ортогональны, но их детерминант не равен единице.

Тут как раз ничего сложного нет, потому что кроме поворотов есть еще отражения.

[В. Войтик]

Аа. Вот какие матрицы вы имеете ввиду... Ну для квантовой физики они полезны, да.

[Someone]

В. Войтик в сообщении #1243034 писал(а):

Всё равно ортогональность не выполняется.

Разумеется, не выполняется. Но выяснили Вы это вовсе не с помощью определителя.

В. Войтик в сообщении #1243034 писал(а):

Вы например знаете такие матрицы
которые ортогональны, но их детерминант не равен единице.

Определитель ортогональной матрицы равен $\pm 1$.

В. Войтик в сообщении #1243034 писал(а):

Я имел ввиду матрицу поворота, когда говорил об ортогональности матрицы Z, а у таких матриц детерминант равен 1.

У матрицы поворота — да. Но Вы же не можете это выяснить без вычислений. И Вы должны проверить ортогональность и убедиться, что определитель равен $1$, а не $-1$. Ни проверки ортогональности, ни проверки определителя отдельно недостаточно. Если Вы проверите что-то одно, то можете получить ошибочный результат.