задачи по логике без ответов

[Sinoid]

Здравствуйте! Я, все-таки начал решение вот этих задач. Проверьте, пожалуйста, решения. В задаче 2, с) я получил такой ответ: $(x\subset y)\wedge(y\subset x)$. Скажите, пожалуйста, это верно?

[Xaositect]

Sinoid в сообщении #1242036 писал(а):

В задаче 2, с) я получил такой ответ: $(x\subset y)\wedge(y\subset x)$. Скажите, пожалуйста, это верно?

Да.

[Sinoid]

Что-то не пойму, а задача 1,с имеет решение?

-- 21.08.2017, 00:48 --

Мне кажется, нет.

-- 21.08.2017, 01:32 --

Все-таки, 1,с) имеет решение: $E(a,\, b)\wedge P(a,\, z)\wedge P(b,\, z)\wedge P(a,\, y)\wedge P(b,\, y)\wedge P(z,\, x)\wedge M(x)$, верно? Ответ какой-то длинный, как правило, это означает ошибку.

[svv]

1) Вы не учли (наверное, не поняли) замечание внизу страницы. Ваша формула допускает равенство $y=z$, и в этом случае $x$ будет сыном $y$.
2) Если $a$ и $b$ — отец и мать $y$ и $z$, обязаны ли они быть супругами, чтобы $z$ был родным братом или сестрой $y$?
3) Не совсем понятно, неполнородные братья/сёстры (имеющие только одного общего родителя) считаются всё-таки братьями/сёстрами? Если да, формула будет короче.
4) Разве не нужно формулу начинать с кванторов (существуют такие $a, b, z$, что ...)?

[Sinoid]

svv в сообщении #1242047 писал(а):

1) Вы не учли (наверное, не поняли) замечание внизу страницы. Ваша формула допускает равенство $y=z$, и в этом случае $x$ будет сыном $y$.

Это да.

svv в сообщении #1242047 писал(а):

2) Если $a$ и $b$ — отец и мать $y$ и $z$, обязаны ли они быть супругами, чтобы $z$ был родным братом или сестрой $y$?
3) Не совсем понятно, неполнородные братья/сёстры (имеющие только одного общего родителя) считаются всё-таки братьями/сёстрами? Если да, формула будет короче.

Случай неполнородного родства приведен и специально оговорен в примере h). В примере же c) никаких оговорок нет. Они полнородные.

svv в сообщении #1242047 писал(а):

4) Разве не нужно формулу начинать с кванторов (существуют такие $a, b, z$, что ...)?

А что, всякая формула начинается с кванторов?

[Sinoid]

Так это надо взять

Sinoid в сообщении #1242042 писал(а):

$E(a,\, b)\wedge P(a,\, z)\wedge P(b,\, z)\wedge P(a,\, y)\wedge P(b,\, y)\wedge P(z,\, x)\wedge M(x)$

в скобки, а перед ними написать $\exists z(z\in P\backslash\left\{ a,\, b,\, y\right\} )\wedge$ верно?

[grizzly]

Sinoid
Племянник -- скорее отношение родства, чем свойства. Думаю, можно (и нужно) упростить выражение, убрав требование к супружеству.

[arseniiv]

Sinoid в сообщении #1242280 писал(а):

а перед ними написать $\exists z(z\in P\backslash\left\{ a,\, b,\, y\right\} )\wedge$ верно?

А что такое $P\backslash\left\{ a,\, b,\, y\right\}$, и кто сказал, что $\in$ и термы вида $\{\ldots\}$ входят в язык?

-- Вт авг 22, 2017 03:44:17 --

Так, ну-ка я тоже напишу племянника, не вглядываясь в уже запощеное:

(Спойлеры!)

Племянник — сын сиблинга (нету в русском языке слова для «брат или сестра», что поделать). $x$ — сиблинг $y$, если $\exists p(P(p,x)\wedge P(p,y)\wedge x\ne y)$. Соединяем:

$$M(x)\wedge\exists p\exists p'(P(p,x)\wedge P(p',p)\wedge P(p',y)\wedge p\ne y).$$

Если считать племянником сына, скажем, мужа сестры, не считающегося почему-то сыном сестры, то можно добавить и кое-что с $E$, но это будет никак не обязательным, согласен с grizzly, потому что $E$ к горькому сожалению не рефлексивно.

А, вот теперь я понял вашу запись — там не $P\backslash\{\ldots\}$, а $\mathcal P\setminus\{\ldots\}$. Она всё равно неправильная, потому что конструкции теории множеств в ту сигнатуру не входят. Можно, однако, переписать $z\in\mathcal P\setminus\{a, b, y\}$ в виде допустимого $z\ne a\wedge z\ne b\wedge z\ne y$.

-- Вт авг 22, 2017 03:53:44 --

Sinoid в сообщении #1242265 писал(а):

А что, всякая формула начинается с кванторов?

Ну, если у формулы не должно быть параметров кроме $x$ и $y$, все вхождения остальных переменных в неё должны оказаться связанными.

[svv]

Sinoid в сообщении #1242265 писал(а):

В примере же c) никаких оговорок нет. Они полнородные.

Или какие угодно.
У меня получилась та же формула, что у arseniiv.

[Sinoid]

arseniiv в сообщении #1242293 писал(а):

$P\backslash\{\ldots\}$, а $\mathcal P\setminus\{\ldots\}$.

Да.

arseniiv в сообщении #1242293 писал(а):

Она всё равно неправильная, потому что конструкции теории множеств в ту сигнатуру не входят. Можно, однако, переписать $z\in\mathcal P\setminus\{a, b, y\}$ в виде допустимого $z\ne a\wedge z\ne b\wedge z\ne y$.

а $\ne$ входит в ту сигнатуру? Я это отношение и близко не допускал: нет его нигде.

[arseniiv]

Sinoid в сообщении #1242382 писал(а):

а $\ne$ входит в ту сигнатуру? Я это отношение и близко не допускал: нет его нигде.

Есть два подхода: когда в любой язык первого порядка формулы, построенные с помощью $=$, входят, и когда оно должно быть всё-таки указано в сигнатуре языка явно. Думаю, здесь первый, потому что без равенства обойтись тут нельзя, да и вообще редко можно. Формула же $x\ne y$ всегда понимается как сокращение $\neg(x = y)$. Ну или можно считать, что есть два предикатных символа ${=},{\ne}$ — одним меньше при определении нормальной интерпретации, одним больше; семантика от этого не изменится, потому что от неё мы в определениях и отталкиваемся.

[Sinoid]

arseniiv в сообщении #1242400 писал(а):

Есть два подхода: когда в любой язык первого порядка формулы, построенные с помощью $=$, входят, и когда оно должно быть всё-таки указано в сигнатуре языка явно

Ваше, arseniiv, (как и других ЗУ) имеет, конечно, для меня значение, но как-то странно получается: мы вам даем сигнатуру, а вы ее еще и довоображайте. Так а другому захочется еще что-нибудь добавить, "А что, - скажет он, - вам же можно было добавить в сигнатуру "=" по своему произволу, а почему я не могу добавить понравившийся мне символ?" И что тогда?

svv в сообщении #1242358 писал(а):

Или какие угодно.

Почему в h) и i) оговорены особые условия, а в c) - нет?

[svv]

Возможно, потому, что, по мнению авторов, в понятие «брат» по умолчанию включаются и неполнородные братья, то есть это не особые условия. Мой вопрос как раз в том, каков объём понятия «брат» без дополнительных уточнений. Обратите внимание, что я не настаиваю на том или другом понимании условий, я лишь обращаю внимание на то, что условие требует уточнения.

В принципе, разумно термин без уточнений понимать в максимально широком смысле. Уточнения этот смысл ограничивают. Но каков этот максимально широкий смысл? Для меня, например, «двоюродный брат» — это не ограничение понятия «брат», это другой термин.

[arseniiv]

Sinoid в сообщении #1242595 писал(а):

Так а другому захочется еще что-нибудь добавить, "А что, - скажет он, - вам же можно было добавить в сигнатуру "=" по своему произволу, а почему я не могу добавить понравившийся мне символ?" И что тогда?

Ничего тогда — разнобой здесь встречается ровно для символа $=$. Уверяю вас, человеческие логики не станут добавлять других просто так. Просто иногда есть смысл отречься в «логической основе» и от равенства; а вот в прикладных задачах это вряд ли попадётся. В любом случае, часть отношений родства не выразимо только через $M,E,P$, и, например, все композиции с отношением сиблинговости — потому что там имеется ограничение на неравенство аргументов.

svv в сообщении #1242615 писал(а):

Но каков этот максимально широкий смысл? Для меня, например, «двоюродный брат» — это не ограничение понятия «брат», это другой термин.

И для меня, и тут есть даже аргумент: если двоюродные братья подходят, то как же троюродные? Четвероюродные? В результате все люди — братья (ну, с точностью до истинности для них $M$), что само по себе не плохо, но делает два понятия тождественными.

-- Чт авг 24, 2017 03:07:21 --

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1242668 писал(а):

В результате все люди — братья

Хотя на самом деле всё, конечно, сложнее. Может статься, мы дойдём до организмов, которые размножаются существенно иначе, и теория неадекватна.