Задача о разложении матрицы

[В. Войтик]

Пусть у нас имеется известная матрица $3 \times 3$ общего вида $A_{\alpha \gamma}$. Представим её в виде
$A_{\alpha \gamma}=X_{\alpha \beta}Y_{\beta\gamma}$
где матрица X антисимметрична
$X_{\alpha \beta}=-X_{\beta\alpha}$ ,
а матрица Y симметричная
$Y_{\beta\gamma}=Y_{\gamma\beta}$.
Смею утверждать, что данное разложение единственно для любой нетривиальной матрицы А.
Вопрос. Как найти матрицы X и Y по матрице А? Неужели надо решать 9 уравнений? Есть ли соответствующая теория?

[Xaositect]

В. Войтик в сообщении #1241540 писал(а):

Смею утверждать, что данное разложение единственно для любой нетривиальной матрицы А.

Это разложение не всегда существует. Как минимум, матрица должна быть с нулевым следом, потому что $\operatorname{tr}(XY) = \operatorname{tr}(A) = \operatorname{tr}(A^T) = \operatorname{tr}(Y^TX^T) = \operatorname{tr}(-YX) = -\operatorname{tr}(YX) = -\operatorname{tr}(XY)$. Аналогично и определитель матрицы тоже должен быть нулевым: $\det X \det Y = \det A = \det A^T = - \det X \det Y$.

[В. Войтик]

Хорошо. Значит накладываем условие $\operatorname{tr}(A)=0$ и $\det(A)=0$.
Всё-таки как найти X и Y?

[svv]

Знаю, как найти $X$, если разложение существует.
Прежде всего, разложение не совсем единственно. Вместо подходящих $X$ и $Y$ можно взять $\tilde X=cX$ и $\tilde Y=c^{-1}Y$, где $c\neq 0$.

Матрицу $X$ можно представить в виде
$X=\begin{pmatrix}0&c&-b\\-c&0&a\\b&-a&0\end{pmatrix}$
Легко видеть, что $p^T X=0$, где вектор $p^T=(a,b,c)$. Тогда и $p^TXY=p^T A=0$. Значит, $p$ является нетривиальным решением системы $A^Tp=0$.

[g______d]

https://mathoverflow.net/questions/2245 ... tric-matri

[svv]

В. Войтик в сообщении #1241540 писал(а):

Смею утверждать, что данное разложение единственно для любой нетривиальной матрицы А.

Нет, это далеко не так. Если пара матриц $(X, Y)$ обеспечивает разложение, то разложением будут также
$(cX, c^{-1}Y)$, где $c\neq 0$ ;
$(X, Y+cpp^T)$, где $p$ — вектор, определённый выше (дуальный тензору $X$), $c$ — скаляр.

[В. Войтик]

g______d в сообщении #1241620 писал(а):

https://mathoverflow.net/questions/224551/factorization-of-a-matrix-as-a-product-of-a-symmetric-and-a-skew-symmetric-matri

Там немного не так. $A=YX$. Всё равно большое спасибо.

-- Пт авг 18, 2017 22:54:18 --

svv в сообщении #1241672 писал(а):

Нет, это далеко не так. Если пара матриц $(X, Y)$ обеспечивает разложение, то разложением будут также
$(cX, c^{-1}Y)$, где $c\neq 0$ ;
$(X, Y+cpp^T)$, где $p$ — вектор, определённый выше (дуальный тензору $X$), $c$ — скаляр.

Большое спасибо. Когда я говорил, что разложение единственно я руководствовался физическими соображениями... Значит не вполне понимаю...

[g______d]

В. Войтик в сообщении #1241684 писал(а):

Там немного не так. $A=YX$.

От одного к другому можно перейти, заменив $A$ на $-A^T$.

[В. Войтик]

Вроде дошло до меня. Я неправильно поставил задачу. Переформулирую.
Пусть у нас имеется известная матрица $3 \times 3$ общего вида $A_{\alpha \gamma}$. Представим её в виде
$A_{\alpha \gamma}=Z_{\alpha \beta}Y_{\beta\gamma}$
где матрица Z является ортогональной
$\det Z_{\alpha \beta}=1$ ,
а матрица Y симметричная
$Y_{\beta\gamma}=Y_{\gamma\beta}$.
Данное разложение всё-таки единственно для любой матрицы А.
Вопрос тот же. Как найти матрицы Z и Y по матрице А? Свой ответ дам позже.
А вот любопытно: есть ли такая теорема?

[Slav-27]

(Оффтоп)

В. Войтик в сообщении #1242683 писал(а):

Я неправильно поставил задачу.

Ну вы даёте!

То, что вы хотите теперь, называется полярное разложение.

В. Войтик в сообщении #1242683 писал(а):

Данное разложение всё-таки единственно для любой матрицы А.

Всё равно не для любой.

[Xaositect]

В. Войтик в сообщении #1242683 писал(а):

Данное разложение всё-таки единственно для любой матрицы А.

Нет, не единственно. Таких разложений почти всегда четыре, потому что можно сделать два отражения вдоль собственных векторов $Y$, и иногда бесконечное множество (например, когда $A$ - единичная матрица). Вот если Вы потребуете неотрицательную определенность $Y$ - тогда будет почти всегда единственно.

[В. Войтик]

Slav-27 в сообщении #1242685 писал(а):

То, что вы хотите теперь, называется полярное разложение.

Почему всегда всё самое вкусное уже сформулировано?

Slav-27 в сообщении #1242685 писал(а):

Всё равно не для любой.

А это уже малоинтересные частности (для физики).

[svv]

В. Войтик в сообщении #1242683 писал(а):

где матрица Z является ортогональной
$\det Z_{\alpha \beta}=1$ ,
а матрица Y симметричная
$Y_{\beta\gamma}=Y_{\gamma\beta}$.

На всякий случай спрошу, Вы же не думаете, что условия $\det Z=1$ достаточно, чтобы $Z$ была ортогональной?

[popolznev]

В. Войтик в сообщении #1242689 писал(а):

Почему всегда всё самое вкусное уже сформулировано?

Это примерно как выбраться из города в близлежащий лес на расстояние двадцатиминутной пешей прогулки и удивляться, почему там малина вся уже оборвана.

[В. Войтик]

svv в сообщении #1242749 писал(а):

На всякий случай спрошу, Вы же не думаете, что условия $\det Z=1$ достаточно, чтобы $Z$ была ортогональной?

Матрица Z есть матрица поворота, а такие матрицы всегда с детерминантом единица. Поэтому не понял Вашего вопроса.

-- Пт авг 25, 2017 14:51:12 --

popolznev в сообщении #1242823 писал(а):

Это примерно как выбраться из города в близлежащий лес на расстояние двадцатиминутной пешей прогулки и удивляться, почему там малина вся уже оборвана.

Ну я по своей наивности кроме стандартной тензорной алгебры ничего не знаю и понятия не имел, что оказывается там ещё что-то есть важное для физики чего нет в стандартных курсах. Поэтому разочарован да.

-- Пт авг 25, 2017 15:21:42 --

Хорошо. Прокомментируйте сейчас мой способ решения исходного уравнения.
Возводим его в квадрат. В силу ортогональности матрицы Z получим, что
$Y_{\beta\mu}Y_{\beta\gamma}=A_{\beta\mu}A_{\beta\gamma}$
Далее обозначим $A_{\beta\mu}A_{\beta\gamma}=B_{\mu \gamma}$
Матрица B симметричная. Поэтому можно стандартным способом найти её главные значения из уравнения
$\det(B_{\mu\gamma}-B\delta_{\mu\gamma})=0$
и потом главные вектора из уравнения
$B_{\mu \gamma}n_{\gamma}=Bn_{\mu}$.
После нахождения главных значений $B^{(\mu)}$ и главных векторов $n_{\mu}$ заметим, что главные вектора матрицы В являются главными векторами матрицы Y. Поэтому дальнейшее очевидно. Главными значениями матрицы Y являются значения $Y^{(\mu)}=\sqrt{B^{(\mu)}}$. Восстанавливаем матрицу Y. Она равна
$Y_{\alpha\beta}=Y^{(1)}n^{(1)}_{\alpha}n^{(1)}_{\beta}+Y^{(2)}n^{(2)}_{\alpha}n^{(2)}_{\beta}+Y^{(3)}n^{(3)}_{\alpha}n^{(3)}_{\beta}$
Дальнейшее очевидно. Находим обратную матрицу к матрице Y и на последнем этапе находим матрицу Z.