Задача "Паучки"

[ulidtko]

ET писал(а):

Что есть предел последовательности, каждый элемент которой - геометрическая фигура тоже определять надо и боюсь это будет ой как непросто

В данном случае достаточно просто, поскольку любой паучок из последовательности однозначно определяется одной координатой и размером.

[Someone]

ulidtko писал(а):

По моему первоначальному замыслу, после выполнения бесконечного количества итераций мы получили бы биекцию с множеством всех бесконечных троичных дробей.

Нет, получается только биекция с множеством всех конечных троичных последовательностей (не дробей: дроби $0.1$ и $0.100$ совпадают, а последовательности разные). Бесконечным последовательностям неоткуда взяться.

ulidtko писал(а):

Можно всё значительно упростить. Будем брать последовательность паучков. Каждого следующего получаем из длинной ноги предыдущего. Всё. Последовательность их размеров стремится к нулю. Предел этой последовательности — "последний паучок" (да, это некорректно) — которому соответствует бесконечная дробь — элемент $A$ — точка, паучком не является.

Вообще говоря, это непонятно. Если Вы изучаете математику, для Вас не должно быть удивительным, что предел последовательности и предел функции имеют специальные определения. Предел множеств или предел геометрических фигур также нужно сначала определить, а потом уже о нём говорить. Причём, если определения предела последовательности или предела функции являются, в общем-то, общепринятыми, то о пределе множеств или пределе геометрических фигур этого, вообще говоря, сказать нельзя. Это же Вам и ET пишет.

Цитата:

В данном случае достаточно просто, поскольку любой паучок из последовательности однозначно определяется одной координатой и размером.

Боюсь, что нет. Важно ещё его расположение на плоскости.

ulidtko писал(а):

Можно вопрос? Существует ли такая последовательность $(x_k)$ последовательностей чисел $(x_n^{(k)})$, каждая из которых стремится к нулю, а последовательность $(S_n)$ сумм $n$-тых элементов этих последовательностей $S_n=\sum\limits_{k=1}^\infty x_n^{(k)}$ стремилась к бесконечности?

Запросто. Берём

$$x_n^{(k)}=\frac 1{k^{1+\frac 1n}\sqrt{n}}\text{.}$$

Тогда, очевидно,

$$\lim_{n\to\infty}x_n^{(k)}=\lim_{n\to\infty}\frac 1{k^{1+\frac 1n}\sqrt{n}}=0\text{,}$$

в то время как

$$S_n=\sum_{k=1}^{\infty}x_n^{(k)}=\frac 1{\sqrt{n}}\sum_{k=1}^{\infty}\frac 1{k^{1+\frac 1n}}=\frac 1{\sqrt{n}}\zeta\left(1+\frac 1n\right)$$

и $\lim\limits_{n\to\infty}S_n=\lim\limits_{n\to\infty}\frac 1{\sqrt{n}}\zeta\left(1+\frac 1n\right)=+\infty$. Здесь

$$\zeta(x)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac 1{k^x}\text{ ---}$$

дзета-функция Римана (при $x>1$). Она имеет в точке $x=1$ полюс первого порядка (точнее, $\zeta(x)\sim\frac 1{x-1}$ при $x\to 1^+$).

[ET]

ulidtko писал(а):

ET писал(а):

Что есть предел последовательности, каждый элемент которой - геометрическая фигура тоже определять надо и боюсь это будет ой как непросто

В данном случае достаточно просто, поскольку любой паучок из последовательности однозначно определяется одной координатой и размером.

Что значит "в данном случае"??? Понятие такого предела либо есть и существует для всех таких последовательностей либо его нет.

[Профессор Снэйп]

У меня стойкое ощущение, что ulidtko есть ни что иное, как очередная инкарнация Давидюка.

[ulidtko]

Someone писал(а):

Если Вы изучаете математику, для Вас не должно быть удивительным, что предел последовательности и предел функции имеют специальные определения.

Эти определения мне известны и прекрасно понятны.

Someone писал(а):

Предел множеств или предел геометрических фигур также нужно сначала определить, а потом уже о нём говорить. Причём, если определения предела последовательности или предела функции являются, в общем-то, общепринятыми, то о пределе множеств или пределе геометрических фигур этого, вообще говоря, сказать нельзя. Это же Вам и ET пишет.

Я сознательно употребил такое, недопустимое из-за нестрогости, выражение. Оправдываю это тем, что

Цитата:

В данном случае достаточно просто, поскольку любой паучок из последовательности однозначно определяется одной координатой и размером.

Someone писал(а):

Боюсь, что нет. Важно ещё его расположение на плоскости.

Длинные ноги всех паучков лежат на одной прямой. Сделаем эту прямую координатной осью, зафиксировав направление и точку отсчёта. Тогда положение центра паучка можно задать одной действительной координатой, а размер и (одно из двух возможных) направление — вектором из центра паучка к концу длинной ноги — также действительным числом. Теперь слова "последовательность паучков" заменяются на "последовательность положений центров $(x_k)$ и последовательность "размеров" $(a_k)$". Легко увидеть, что они сходятся: первая к конечному числу, а вторая — к нулю. Это было описано словами "предел последовательности паучков — точка".
Отмечу, что то множество $A$, которое я хотел построить, содержит эту точку, то есть уже не пусто.




Ну да ладно. Хоть удевлетворяюще чёткого определения множеству я и не дал, но зато сам понял, то, что хотел понять.
Паучков в $A$ нет, поскольку они в пределе вырождаются в точки. А самих этих точек в $A$ континуальное количество.
Спасибо всем, кто учавствовал.

P.S.

Someone писал(а):

Бесконечным последовательностям неоткуда взяться.

Не могли бы Вы посоветовать литературу, которая объясняет тонкости анализа математических объектов, построенных с использованием понятия "бесконечность"?
А потом, я думаю, можно и тему закрыть

Добавлено спустя 1 минуту 8 секунд:

Профессор Снэйп писал(а):

У меня стойкое ощущение, что ulidtko есть ни что иное, как очередная инкарнация Давидюка.

Почему?

[Someone]

ulidtko писал(а):

Не могли бы Вы посоветовать литературу, которая объясняет тонкости анализа математических объектов, построенных с использованием понятия "бесконечность"?

Если Вас интересует бесконечность в теоретико-множественном смысле, то можно изучать литературу по теории множеств. Например:

[1] Справочная книга по математической логике. Часть II. Теория множеств. Москва, "Наука", 1982.

Для начала стоит посмотреть первые две главы. Следующие уже сложные. И, конечно, это не учебник.

[2] К.Куратовский, А.Мостовский. Теория множеств. "Мир", Москва, 1970.

Это весьма основательная книга. Не уверен, что в ней можно легко разобраться.

К сожалению, литературы, доступной начинающим, я не знаю. Может быть, кто-нибудь что-нибудь посоветует.

ulidtko писал(а):

Профессор Снэйп писал(а):

У меня стойкое ощущение, что ulidtko есть ни что иное, как очередная инкарнация Давидюка.

Почему? :shock:

Вы излагаете идеи, похожие на идеи Давидюка, причём, в похожем стиле. Правда, ведёте себя более вменяемо. А Константин Давидюк здесь всем надоел.

[Brukvalub]

Someone писал(а):

К сожалению, литературы, доступной начинающим, я не знаю. Может быть, кто-нибудь что-нибудь посоветует.

Я посоветую вот эти книги:
Архангельский А.В. — Канторовская теория множеств
Н.К. Верещагин, А.Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 1 Теория множеств.
Брать здесь: http://www.mccme.ru/free-books/
А с Давидюком не связывайтесь, иначе пойдете по "кривой дорожке"

[tolstopuz]

Someone писал(а):

К сожалению, литературы, доступной начинающим, я не знаю. Может быть, кто-нибудь что-нибудь посоветует.

Жаль, "Naive set theory" Халмоша на русский не переведена. Но те, кого это не смущает, могут найти оригинал:

http://www.google.ru/search?q=halmos+na ... heory+djvu

[Someone]

Brukvalub писал(а):

А с Давидюком не связывайтесь, иначе пойдете по "кривой дорожке"

Постараюсь не связываться.

[ulidtko]

Brukvalub писал(а):

А с Давидюком не связывайтесь, иначе пойдете по "кривой дорожке"

Да, с частью его постов я уже ознакомился

Я просто хотел найти ошибку в доказательстве, только и всего.

[ET]

Someone писал(а):

А Константин Давидюк здесь всем надоел.

Ну я то о нем только седня узнал
http://corum.mephist.ru/index.php?showt ... ntry220415
ААААА мой мозг!!! Заява в прокуратуру на инститт математики!!!!
Он что тут был?

[PAV]

PAV:

Он тут был, но больше не будет. Я прошу присутствующих прекратить обсуждение вопросов, не относящихся к теме.