Понятие определителя

[xjar1]

Всем привет,

Как определяется определитель?
В учебнике Кострикина сначала пишется, что

Цитата:

Определитель — это число (или выражение), приписываемое матрице $A$ и определённое формулой полного развёртывания
...
Другими словами, определителем $\det A$ матрицы $A$ называется алгебраическая сумма всевозможных произведений коэффициентов, взятых по одному из каждой строки и из каждого столбца.

Но в следующем пункте мы рассматриваем определитель как функцию

Цитата:

Согласно определению | |$ = \det $ — функция, сопоставляющая квадратной матрице А некоторое число $|A| = \det А$.
...
Если угодно, для нас $\det A$ — сокращённое обозначение функции $\det[A_{(1)},..., A_{(n)}]$ $n$ переменных, коими являются векторы из $\mathbb{R}^{n}$.

Как это понять? Мы отождествляем функцию и ее значение?

[Anton_Peplov]

xjar1 в сообщении #1238534 писал(а):

Как это понять? Мы отождествляем функцию и ее значение?

Встречный вопрос. Натуральный логарифм данного числа - это показатель степени, в которую нужно возвести экспоненту, чтобы получить данное число. Но все кругом говорят, что $\ln$ - функция, интегралы какие-то от нее берут, график строят. Как это понять? Мы отождествляем функцию и ее значение?

[Z1X]

xjar1 в сообщении #1238534 писал(а):

Если угодно, для нас $\det A$ — сокращённое обозначение функции

По-моему тоже неприятно, когда автор не отличает обозначения функций от термов.

[gefest_md]

В первом случае дается определение понятия "определитель матрицы A". Во втором - просто "определителя".

[xjar1]

Anton_Peplov в сообщении #1238540 писал(а):

Встречный вопрос. Натуральный логарифм данного числа - это показатель степени, в которую нужно возвести экспоненту, чтобы получить данное число. Но все кругом говорят, что $\ln$ - функция, интегралы какие-то от нее берут, график строят. Как это понять? Мы отождествляем функцию и ее значение?

Если честно Ваш вопрос меня тоже ввел в ступор, может на разговорном языке можно отождествить функцию и ее значение, но чисто математически -- не знаю.

Z1X в сообщении #1238543 писал(а):

По-моему тоже неприятно, когда автор не отличает обозначения функций от термов.

Вы имеете ввиду автора темы? Я, к сожалению, пока не ориентируюсь в данных понятиях и разнице между ними.

[Mikhail_K]

Другими словами: $\det$ - функция (ставящая в соответствие каждой квадратной матрице какое-то число).
Поэтому, если $A$ - квадратная матрица, то $\det A$ - число.

-- 05.08.2017, 12:49 --

xjar1 в сообщении #1238550 писал(а):

Вы имеете ввиду автора темы?

Он имеет в виду автора учебника. Действительно, не очень корректно говорить, что $\det A$ - функция; корректнее говорить, что $\det$ - функция, а $\det A$ - её значение.

Но это по большей части придирки. В учебнике не обязательно должен всюду соблюдаться такой уровень строгости.

[arseniiv]

Там явно видно, зачем автор написал «$\det A$ — функция» — дальше он обращается к отдельным строкам/столбцам $A$, чтобы ввести ещё одну функцию с названием тоже $\det$, но от $n$ штук $n$-элементных столбцов $A_i$ (в принципе, можно даже понимать это как счётное число функций, хотя ничто не мешает взять их объединение, и даже объединение с исходной функцией $\det$, и всё это понимать как одну функцию), чтобы выразить исходную через эту. В принципе, можно написать всё с крайней точностью*, но тогда придётся переставить все слова, и может стать непонятно, на чём в предложении акцент.

* Что $\det(\text{матрица со столбцами }A_1,\ldots,A_n) = \det'(A_1,\ldots,A_n)$, где $\det'$ — функция набора столбцов, а $\det$ — функция матрицы.

[ewert]

xjar1 в сообщении #1238534 писал(а):

В учебнике Кострикина сначала пишется, что

Цитата:

Определитель — это число (или выражение), приписываемое матрице $A$ и определённое формулой полного развёртывания
...
Другими словами, определителем $\det A$ матрицы $A$ называется алгебраическая сумма всевозможных произведений коэффициентов, взятых по одному из каждой строки и из каждого столбца.

Но в следующем пункте мы рассматриваем определитель как функцию

Цитата:

Согласно определению | |$ = \det $ — функция, сопоставляющая квадратной матрице А некоторое число $|A| = \det A$.
...
Если угодно, для нас $\det A$ — сокращённое обозначение функции $\det[A_{(1)},..., A_{(n)}]$ $n$ переменных, коими являются векторы из $\mathbb{R}^{n}$.

Как это понять? Мы отождествляем функцию и ее значение?

Если у Кострикина написано буквально так, то не вижу никаких шероховатостей. Он как раз именно в процитированном очень чётко разводит понятия функции и её значения. (У Вас там была одна явная опечатка -- видимо, из-за раскладки клавиатуры; я её подправил.) Единственная небрежность -- в самом начале: "это число (или выражение), приписываемое матрице". Но это лишь из-за того, что Кострикин не решился начать с запугивания читателя ужасающим словосочетанием "функция от матрицы" -- для вчерашнего школьника оно непривычно. Он предпочёл сперва приучить к этому понятию.