Предел последовательности интегралов Лебега (существование)

[Lister]

Здравствуйте. Возник вопрос по следующей задаче:
Существует ли предел
$\lim\limits_{n \to \infty} {\int\limits_{0}^{1} e^{sin{\frac x n}} \frac {1-cos{\frac x n}} {sin^2({\frac {x^{5/4}} n})} dx}$
Интеграл Лебега.
Насколько я понимаю, надо мажорировать подынтегральную функцию, однако, хотя я и могу достаточно строго оценить числитель, но со знаменателем почему-то не выходит - верно ли, что предела не существует? Если он существует - то буду благодарен, если кто-нибудь подскажет оценку для подынтегральной функции (оценку числителя я с легкостью получаю, а вот со знаменателем проблема).

[ewert]

Lister писал(а):

Здравствуйте. Возник вопрос по следующей задаче:
Существует ли предел
$\lim\limits_{n \to \infty} {\int\limits_{0}^{1} e^{sin{\frac x n}} \frac {1-cos{\frac x n}} {sin^2({\frac {x^{5/4}} n})} dx}$
Интеграл Лебега.

Ну а при чём тут Лебег-то?

Первый множитель в пределе единичен, два других равномерно оцениваются степенями аргумента, причём эн асимптотически сокращаются, а иксы стоят в благоприятных для сходимости интеграла степенях, со всеми вытекающими отсюда последствиями.

[Lister]

Cпасибо, просто дело в том, что данная задача относится к теме: "последовательности суммируемых по Лебегу функций", поэтому, с моей точки зрения, было бы целесообразно применить теорему Лебега о мажорированной сходимости.

[ewert]

а-а, не врубился, Вам же мажоранта нужна. Ну так синус в знаменателе ведб двусторонне оценивается линейными функциями, выбирай себе на вкус..