2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Предел последовательности интегралов Лебега (существование)
Сообщение01.06.2008, 16:49 
Здравствуйте. Возник вопрос по следующей задаче:
Существует ли предел
$\lim\limits_{n \to \infty} {\int\limits_{0}^{1} e^{sin{\frac x n}} \frac {1-cos{\frac x n}} {sin^2({\frac {x^{5/4}} n})} dx}$
Интеграл Лебега.
Насколько я понимаю, надо мажорировать подынтегральную функцию, однако, хотя я и могу достаточно строго оценить числитель, но со знаменателем почему-то не выходит - верно ли, что предела не существует? Если он существует - то буду благодарен, если кто-нибудь подскажет оценку для подынтегральной функции (оценку числителя я с легкостью получаю, а вот со знаменателем проблема).

 
 
 
 Re: Предел
Сообщение01.06.2008, 18:19 
Lister писал(а):
Здравствуйте. Возник вопрос по следующей задаче:
Существует ли предел
$\lim\limits_{n \to \infty} {\int\limits_{0}^{1} e^{sin{\frac x n}} \frac {1-cos{\frac x n}} {sin^2({\frac {x^{5/4}} n})} dx}$
Интеграл Лебега.

Ну а при чём тут Лебег-то?

Первый множитель в пределе единичен, два других равномерно оцениваются степенями аргумента, причём эн асимптотически сокращаются, а иксы стоят в благоприятных для сходимости интеграла степенях, со всеми вытекающими отсюда последствиями.

 
 
 
 
Сообщение01.06.2008, 19:04 
Cпасибо, просто дело в том, что данная задача относится к теме: "последовательности суммируемых по Лебегу функций", поэтому, с моей точки зрения, было бы целесообразно применить теорему Лебега о мажорированной сходимости.

 
 
 
 
Сообщение01.06.2008, 19:09 
а-а, не врубился, Вам же мажоранта нужна. Ну так синус в знаменателе ведб двусторонне оценивается линейными функциями, выбирай себе на вкус..

 
 
 [ Сообщений: 4 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group