интегрирование дифф. неравенства

[nckg]

Добрый вечер!

Подскажите пожалуйста, как доказывается утверждение:

Если $dx(t)/dt \leqslant A x(t)$, где $A=const$, то $x(t)\leqslant x(0) e^{At}$

(по-моему оно называется теоремой сравнения)

[ewert]

nckg писал(а):

Добрый вечер!

Подскажите пожалуйста, как доказывается утверждение:

Если $dx(t)/dt \leqslant A x(t)$, где $A=const$, то $x(t)\leqslant x(0) e^{At}$

(по-моему оно называется теоремой сравнения)

В таком примитивном варианте -- попробуйте просто подставить $x(t)=u(t)\cdot e^{At}$ и попытайтесь доказать, что $u(t)$ невозрастает.

[nckg]

хм, спасибо! Всё оказалось просто. Для Вашей подстановки из условия вытекает, что $du(t)/dt\leqslant 0$, откуда следует утверждение.

P.S. В общем случае оно называется теоремой сравнения Чаплыгина, и доказывается от противного.

[Бодигрим]

В еще более общем случае оно называется следствием из леммы Гронуолла-Беллмана.

[Taras]

а по-моему, ето частный случай леммы Гронуолла-Беллмана.

P.S. Не заметил поста Бодигрима

[nckg]

не уверен - ведь в лемме Гронуолла-Беллмана требуется неотрицательность функции $y$

[Taras]

невнимателен