2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 интегрирование дифф. неравенства
Сообщение01.06.2008, 18:35 
Добрый вечер!

Подскажите пожалуйста, как доказывается утверждение:

Если $dx(t)/dt \leqslant A x(t)$, где $A=const$, то $x(t)\leqslant x(0) e^{At}$

(по-моему оно называется теоремой сравнения)

 
 
 
 Re: интегрирование дифф. неравенства
Сообщение01.06.2008, 18:41 
nckg писал(а):
Добрый вечер!

Подскажите пожалуйста, как доказывается утверждение:

Если $dx(t)/dt \leqslant A x(t)$, где $A=const$, то $x(t)\leqslant x(0) e^{At}$

(по-моему оно называется теоремой сравнения)

В таком примитивном варианте -- попробуйте просто подставить $x(t)=u(t)\cdot e^{At}$ и попытайтесь доказать, что $u(t)$ невозрастает.

 
 
 
 
Сообщение01.06.2008, 19:05 
хм, спасибо! Всё оказалось просто. Для Вашей подстановки из условия вытекает, что $du(t)/dt\leqslant 0$, откуда следует утверждение.

P.S. В общем случае оно называется теоремой сравнения Чаплыгина, и доказывается от противного.

 
 
 
 
Сообщение01.06.2008, 19:12 
Аватара пользователя
В еще более общем случае оно называется следствием из леммы Гронуолла-Беллмана.

 
 
 
 
Сообщение01.06.2008, 19:13 
Аватара пользователя
а по-моему, ето частный случай леммы Гронуолла-Беллмана.

P.S. Не заметил поста Бодигрима :roll:

 
 
 
 
Сообщение01.06.2008, 19:31 
не уверен - ведь в лемме Гронуолла-Беллмана требуется неотрицательность функции $y$

 
 
 
 
Сообщение01.06.2008, 19:37 
Аватара пользователя
невнимателен :oops:

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group