Задачка на электростатику. Конденсатор.

[Lakorette]

На непроводящий диск $(1)$ наклеены четыре проводящих лепестка $(2)$ площади $S$ каждый. При вращении диска лепестки поочередно входят в промежуток между экранирующими обкладками $(3)$, касаясь при этом скользящих заземленных контактов $(4)$. Контакт прерывается, когда лепесток выходит из обкладок. Затем лепесток касается электрода $(5)$, подсоединенного к конденсатору емкости $C$. После прерывания контакта с электродом лепесток входит в зазор второй пары обкладок и т. д. Во сколько раз напряжение на конденсаторе увеличится после $n$ оборотов диска? Зазор между лепестком и экранирующими обкладками $d$ мал по сравнению с размерами лепестка.

Помогите разобраться с зарядами на обкладках $(3)$. Насколько я понимаю, обкладки соединены между собой и подсоединены к одной из пластин конденсатора $C$. Соответственной $\Delta\,\varphi$ между обкладками равно нулю, но при этом они должны обладать каким-то одноименным зарядом(или нет?). Во время прохождения лепестком $(2)$ обкладок, заряды, одноименные с зарядами обкладок, с этого самого лепестка стекают в землю, и он приобретает противоположный по знаку заряд пластин-обкладок. После этого лепесток переносит заряд на электрод $(5)$, а электрод - на конденсатор(можно сказать, что лепесток передаёт заряд конденсатору)
Так вот, как определить начальные заряды на электродах и экранах(по отношению к заряду $q$, думаю воспользоваться тем, что $C=\frac{q}{U} = \operatorname{const}$)? Насколько я понимаю, то если экраны подключены к пластине конденсатора с зарядом $-q$, то каждая пластина обладает зарядом $\frac{q}{2}$, т.к. $\Delta\,U = 0\,\longrightarrow\,E = 0$ - напряженность между экранами, также сумма зарядов должна быть равна нулю(опять же, это очень сильно подвергается моим сомнениям). При этом, насколько я понимаю, можно пренебречь зарядом электродов(на них, фактически, должен быть заряд конденсатора, т.к. это просто соединяющий элемент.
Если рассуждать подобным образом, то нам вообще не нужны $C, S, d$, ведь заряд будет уравновешиваться при соприкосновении лепестка с электродом. И вообще получается странная вещь: при прохождении лепестком электрода, подключенного к положительной пластине, он получает положительный заряд $\frac{q}{2}$ и несет его к отрицательной пластине, тогда при контакте заряд на конденсаторе должен уменьшится...
С электростатикой дела не очень хороши, изучать ее начал недавно. Сразу понятно, что ошибка в рассуждении именно в зарядах на экранах. Но я не знаю как связать тот конденсатор, который получается при прохождении лепестка экранами с зарядом, который индуцируется на лепестке. Прошу помощи, а так же прощения за свой русский и за подобные вопросы) Задача из сборника О.Я. Савченко.

[EUgeneUS]

Давайте разбираться, что там происходит.

Lakorette в сообщении #1237982 писал(а):

обкладки соединены между собой и подсоединены к одной из пластин конденсатора $C$. Соответственной $\Delta\,\varphi$ между обкладками равно нулю,

Да.

Lakorette в сообщении #1237982 писал(а):

но при этом они должны обладать каким-то одноименным зарядом(или нет?).

Пока не важно, какой на них заряд. Заряд поменяется, когда лепесток туда въедет.

Lakorette в сообщении #1237982 писал(а):

Во время прохождения лепестком $(2)$ обкладок, заряды, одноименные с зарядами обкладок, с этого самого лепестка стекают в землю, и он приобретает противоположный по знаку заряд пластин-обкладок.

Да. При этом заряд на пластинах-обкладках-экранах тоже поменялся.

Lakorette в сообщении #1237982 писал(а):

После этого лепесток переносит заряд на электрод $(5)$, а электрод - на конденсатор(можно сказать, что лепесток передаёт заряд конденсатору)

Да.

Lakorette в сообщении #1237982 писал(а):

ак вот, как определить начальные заряды на электродах и экранах(по отношению к заряду $q$, думаю воспользоваться тем, что $C=\frac{q}{U} = \operatorname{const}$)?

Нет. Заряды на электродах и экранах нас мало интересуют. Нас интересует заряд на лепестке.

Lakorette в сообщении #1237982 писал(а):

Насколько я понимаю, то если экраны подключены к пластине конденсатора с зарядом $-q$, то каждая пластина обладает зарядом $\frac{q}{2}$, т.к. $\Delta\,U = 0\,\longrightarrow\,E = 0$ - напряженность между экранами, также сумма зарядов должна быть равна нулю(опять же, это очень сильно подвергается моим сомнениям).

Все не так.

Lakorette в сообщении #1237982 писал(а):

При этом, насколько я понимаю, можно пренебречь зарядом электродов(на них, фактически, должен быть заряд конденсатора, т.к. это просто соединяющий элемент.

Да.

Lakorette в сообщении #1237982 писал(а):

Если рассуждать подобным образом, то нам вообще не нужны $C, S, d$, ведь заряд будет уравновешиваться при соприкосновении лепестка с электродом.

Подобным образом рассуждать нельзя.

Lakorette в сообщении #1237982 писал(а):

И вообще получается странная вещь: при прохождении лепестком электрода, подключенного к положительной пластине, он получает положительный заряд $\frac{q}{2}$ и несет его к отрицательной пластине, тогда при контакте заряд на конденсаторе должен уменьшится...

Все не так.

Рассмотрим один лепесток в тот момент, когда он находится между экранам и он заземлен. Что он из себя представляет (вместе с экранами)?

[rustot]

В этой задаче явно не хватает в условии емкости (или геометрии из которой можно было бы вычислить емкость) лепестка.

[EUgeneUS]

rustot

Есть геометрия лепестка внутри экранов.
Есть такое:

Lakorette в сообщении #1237982 писал(а):

Зазор между лепестком и экранирующими обкладками $d$ мал по сравнению с размерами лепестка.

То есть ёмкость лепестка внутри экранов много больше емкости вне экранов.
Этого достаточно.

Есть скользкое место в условии:

Lakorette в сообщении #1237982 писал(а):

Контакт прерывается, когда лепесток выходит из обкладок.

ИМХО, его надо читать так: "контакт прерывается в тот момент, когда лепесток только начинает выходить из обкладок". Тогда все условия на месте.

[Lakorette]

Возможно я ошибаюсь, но это похоже на два последовательно соединенных конденсатора, напряженность которых направлена в противоположные стороны) Емкость одного из них равняется $C' = \frac{\varepsilon_{0}S}{d}$, тогда последовательно соединенных $C''= \frac{\varepsilon_{0}S}{2d}$

-- 03 авг 2017, 17:09 --

EUgeneUS в сообщении #1238003 писал(а):

rustot

Есть геометрия лепестка внутри экранов.
Есть такое:

Lakorette в сообщении #1237982 писал(а):

Зазор между лепестком и экранирующими обкладками $d$ мал по сравнению с размерами лепестка.

Я думал, что условие $d\ll L$ дано для того, чтобы поле можно было считать однородным. $L$ - например длина лепестка.

-- 03 авг 2017, 17:20 --

Есть еще мысль о том, что когда лепесток находится между экранами, то на них скапливается весь заряд конденсатора из-за нулевого потенциала лепестка(в зависимости с какой стороны подключены обкладки, они будут иметь разный знак)

[EUgeneUS]

Lakorette в сообщении #1238006 писал(а):

Возможно я ошибаюсь, но это похоже на два последовательно соединенных конденсатора, напряженность которых направлена в противоположные стороны)

Мысль в правильном направлении, но... ошибка. Еще более внимательнее посмотрите, что получается.

--
UPD: (удалил, тут была ошибка).
--

-- 03.08.2017, 14:33 --

Lakorette в сообщении #1238006 писал(а):

Есть еще мысль о том, что когда лепесток находится между экранами, то на них скапливается весь заряд конденсатора из-за нулевого потенциала лепестка

Неверная мысль.

[Lakorette]

Ну, насчет ошибки, думаю уже второй день над задачей, но мне как-то ничего не идет в голову. Если только они соединены параллельно. Пытаюсь как-то соединить емкости $C$ и $C''$, чтобы понять, какой заряд может перетечь. Но я считал что это два конденсатора... Может ли на пластинах во время прохождения лепестка быть разный заряд? Нет, т.к. сумма $E_1 + E_2$ должна быть равна нулю, ведь $\varphi = 0$ на лепестке.
Была задача о заряженной пленке между двумя заземленными пластинами, там нужно было найти заряд пластин. Но здесь наоборот, причем заряды экранов неизвестны. Пока попытаюсь еще по соображать.
UPD: потенциал пластин тоже одинаков, значит о различии зарядов ведь не может быть и речи.

[rustot]

EUgeneUS в сообщении #1238003 писал(а):

То есть ёмкость лепестка внутри экранов много больше емкости вне экранов.
Этого достаточно.

Разве? Из этого следует только то, что после выхода из под экрана потенциал лепестка почти в точности равен по модулю и противоположен по знаку потенциалу соответствующей обкладки. Но не зная емкости лепестка мы не знаем переносимый им заряд

[EUgeneUS]

Lakorette в сообщении #1238021 писал(а):

Если только они соединены параллельно.

Продолжаем рассматривать лепесток внутри экранов. Лепесток плюс первый экран - один конденсатор, лепесток плюс другой экран - второй конденсатор.
Вы, конечно, угадали методом исключения, что они соединены параллельно. Но всё таки обратите внимание, на их "выводы" и поймите, что это действительно параллельное соединение.
Теперь нужно посчитать ёмкость получившегося конденсатора.

[Lakorette]

EUgeneUS в сообщении #1238025 писал(а):

Lakorette в сообщении #1238021 писал(а):

Если только они соединены параллельно.

Но всё таки обратите внимание, на их "выводы" и поймите, что это действительно параллельное соединение.
Теперь нужно посчитать ёмкость получившегося конденсатора.

Ох, с этим у меня проблемы. Ну, логично, что емкость такого конденсатора равна $C' = \frac{2 \varepsilon_{0}S}{d}$.

-- 03 авг 2017, 18:06 --

Логично ли предположить, что напряжение на этом конденсаторе такое же, как и на конденсаторе $C$?

[rustot]

По моему так. Если емкость лепестка $C_0 \ll C$, то ему за один цикл сначала достается заряд $q = (U/2) C_0$ а при прикосновении к пластине только половина от него уходит в конденсатор, то есть через конденсатор за цикл проходит заряд $\frac{U C_0}{4}$, что дает прирост потенциала в $\frac{C_0}{4 C}$ раз за один цикл. Как это можно узнать без $C_0$ я не понимаю

[EUgeneUS]

Lakorette в сообщении #1238026 писал(а):

х, с этим у меня проблемы. Ну, логично, что емкость такого конденсатора равна $C' = \frac{2 \varepsilon_{0}S}{d}$.

Логично.

Lakorette в сообщении #1238026 писал(а):

Логично ли предположить, что напряжение на этом конденсаторе такое же, как и на конденсаторе $C$?

Не логично. Тут есть тонкость

rustot в сообщении #1238023 писал(а):

Разве? Из этого следует только то, что после выхода из под экрана потенциал лепестка почти в точности равен по модулю и противоположен по знаку потенциалу соответствующей обкладки. Но не зная емкости лепестка мы не знаем переносимый им заряд

Так как лепесток повисает в воздухе, то он тащит ровно тот заряд, который натёк, пока он был подключен к земле. Потенциал его резво растет, так как ёмкость становится малой, поэтому конденсатору $C$ он отдаст весь свой заряд. Когда доедет до него.

-- 03.08.2017, 15:20 --

rustot в сообщении #1238030 писал(а):

Если емкость лепестка $C_0 \ll C$, то ему за один цикл сначала достается заряд $q = (U/2) C_0$

Емкость лепестка меняется в широких пределах. У него одна ёмкость, когда он получает заряд (она считается из геометрии), и совсем другая (малая), когда отдает.

[Lakorette]

EUgeneUS в сообщении #1238032 писал(а):

Не логично. Тут есть тонкость

Может быть при этом мы получаем три конденсатора, которые подключены последовательно $\frac{1}{C''}=\frac{2}{C'}+\frac{1}{C}$? Тогда можно посчитать $U'$ в таком конденсаторе, ведь заряд остался прежним, а отношение емкостей можно вычислить.

[EUgeneUS]

Lakorette в сообщении #1238035 писал(а):

Может быть при этом мы получаем три конденсатора, которые подключены последовательно($\frac{1}{C''}=\frac{2}{C'}+\frac{1}{C}$? Тогда можно посчитать $U'$ в таком конденсаторе,

У Вас действительно получается что-то похожее на последовательную цепочку из трех конденсаторов. Вот только концы этой цепочки подключены к одной точке - к земле. $U' = 0$. Так что надо как-то исхитриться, чтобы посчитать распределение зарядов.

[Lakorette]

Тогда теперь более-менее ясно. $\Delta U = 0 $ $\longrightarrow 2U' = U_{0}$, $U_{0}$ - начальное напряжение конденсатора.
При этом $q_{0}= 2q' + q'_{0}$, $q_{0}=U_{0}C_{0}$, $q' = C'U'$, отсюда находим $q'_{0}=U_{0}\frac{C_{0}d - 2\varepsilon_{0}S}{d}$ - заряд на конденсаторе во время прохождения лепестка между пластинами. Теперь можно найти заряд на пластинах, во время прохождения между ними лепестка. Дорешаю и напишу решение. Возможно придется задать вопросик. Спасибо большое за помощь!!
UPD:Дополняю решение. Находим $q' = \frac{\varepsilon_{0}SU_{0}}{d}$, тогда после переноса заряд конденсатора станет равен $q_{n} = q_{0} + q'$, т.к. модуль отрицательного и положительного заряда увеличились на $q'$. При этом $U_{0} = \frac{q_{0}}{C}\longrightarrow q_{n} = q_{0}(1 + \frac{\varepsilon_{0}S}{Cd})$, после этого заряд $q_{n}$ будет играть роль начального заряда. Каждая пара за круг переносит заряд 2 раза, значит заряд будет перенесён за один оборот 4 раза $\longrightarrow q(n) =q_{0} (1 + \frac{\varepsilon_{0}S}{Cd})^{4n}\,\,\longrightarrow \frac{q(n)}{q_{0}} = (1 + \frac{\varepsilon_{0}S}{Cd})^{4n}$, немного не совпадает с ответом $\omega = (1 + \frac{\varepsilon_{0}S}{Cd + \varepsilon_{0}S})^{4n}$, поищу ошибку.