Задача "Паучки"

[Someone]

ulidtko писал(а):

Да, уничтожился. Но почему это после окончания построения паучков не будет?

Потому что каждый построенный "паучок" был уничтожен. Вы можете указать, какой конкретно "паучок" из построенных Вами остался?

Посмотрите тему "Кардиналы", там обсуждается похожая ситуация.

ulidtko писал(а):

Бесконечных вы здесь увидеть не можете, так как я их не записывал (хм, и почему я этого не сделал?..).

Потому что их нет.

ulidtko писал(а):

... Потом я поставил троеточие, предполагая, что вы уловили принцип построения дроби, соответствующей паучку из $i$-того множества.

Уловил. Каждому построенному (и потом уничтоженному) "паучку" соответствует конечная последовательность. Множество конечных последовательностей счётно. Поэтому множество всех построенных (и затем уничтоженных) Вами "паучков" счётно. По завершении построения, как я уже говорил, ни одного "паучка" не останется, так как каждый построенный был тут же уничтожен.

[ulidtko]

Someone писал(а):

ulidtko писал(а):

Бесконечных вы здесь увидеть не можете, так как я их не записывал (хм, и почему я этого не сделал?..).

Потому что их нет.

Бесконечных дробей нет?

Someone писал(а):

По завершении построения, как я уже говорил, ни одного "паучка" не останется, так как каждый построенный был тут же уничтожен.

И всё же, как быть с тем фактом (согласитесь, факт), что

ulidtko писал(а):

после каждой итерации суммарная длина всех отрезков увеличивается

Или вы утверждаете, что $\lim\limits_{n\to\infty} \left(\frac23+\frac12\right)^n=0$ ?

[Someone]

ulidtko писал(а):

Someone писал(а):

ulidtko писал(а):

Бесконечных вы здесь увидеть не можете, так как я их не записывал (хм, и почему я этого не сделал?..).

Потому что их нет.

Бесконечных дробей нет?

В Вашем построении бесконечных последовательностей нет.

ulidtko писал(а):

Someone писал(а):

По завершении построения, как я уже говорил, ни одного "паучка" не останется, так как каждый построенный был тут же уничтожен.

И всё же, как быть с тем фактом (согласитесь, факт), что

ulidtko писал(а):

после каждой итерации суммарная длина всех отрезков увеличивается

А причём здесь суммарная длина отрезков?

ulidtko писал(а):

Или вы утверждаете, что $\lim\limits_{n\to\infty} \left(\frac23+\frac12\right)^n=0$ ?

Какое отношение этот предел имеет к обсуждаемой задаче? Если Вы утверждаете, что "паучки" останутся, укажите хотя бы одного. Если указать не сможете, вопрос будем считать закрытым.

[ulidtko]

Someone писал(а):

В Вашем построении бесконечных последовательностей нет.

В моём построении нет паучков, которым соответствуют бесконечные последовательности. Вы это хотите сказать?

Someone писал(а):

А причём здесь суммарная длина отрезков?

Паучки состоят из отрезков. Отрезки имеют длины. Легко увидеть, что сумма длин всех отрезков увеличивается на каждом шаге в $\frac76$ раза. Если брать во внимание только процесс увеличения суммарной длины всех отрезков во время итераций (который происходит одновременно с процессом построения паучков), то обнаружим, что после бесконечного количества итераций эта длина (которую я записал как $\lim\limits_{n\to\infty} \left(\frac23+\frac12\right)^n$) будет бесконечна, а никак не нулевая.

Someone писал(а):

Какое отношение этот предел имеет к обсуждаемой задаче? Если Вы утверждаете, что "паучки" останутся, укажите хотя бы одного. Если указать не сможете, вопрос будем считать закрытым.

Хмм... Последний из паучков, которые получаются всегда из длинной ноги паучка с предыдущей итерации. Можно [s]его обозначить[/s] поставить ему в соответствие $0.(1)$

PS: плохо, что нет зачёркивания

[ИСН]

ulidtko, спор окончательно обрёл черты споров на тему 0.(9)=1 (в смысле, между теми, которые это понимают, и теми, которые ещё нет). Какой "последний"? Последний из бесконечности? Но чёрт с ним, пусть даже так. Чему равна длина его ножек? 0.1? 0.01? 0.000001? Нет, меньше. Тогда сколько? 0? Так это уже не отрезок.

[ulidtko]

ИСН писал(а):

ulidtko, спор окончательно обрёл черты споров на тему 0.(9)=1 (в смысле, между теми, которые это понимают, и теми, которые ещё нет).

Это я прекрасно понимаю и никаких возражений не имею.

ИСН писал(а):

Какой "последний"? Последний из бесконечности? Но чёрт с ним, пусть даже так. Чему равна длина его ножек? 0.1? 0.01? 0.000001? Нет, меньше. Тогда сколько? 0? Так это уже не отрезок.

Ну, я бы выразился на «$\varepsilon$-языке»:
для любого $\varepsilon>0$ длины ножек меньше $\varepsilon$.

[ET]

ulidtko
Я ж самого начала писал -- я не вижу в этом множестве А каких-либо паучков. Вы можете показать хотя бы 1? Допустим ввести с-му координат, лучше формализовать ваш способ построения и указать хоть 1 который останется?

[ulidtko]

То есть, вы хотите сказать, что дело как раз в том, что при таком построении паучки в пределе вырождаются в точки: паучков по определению в множестве нет, и именно поэтому построенное множество доказательством существования континуального множества паучков на плоскости не является?

Ну а как же тогда с суммарной длиной?

[ET]

ulidtko писал(а):

То есть, вы хотите сказать, что дело как раз в том, что при таком построении паучки в пределе вырождаются в точки: паучков по определению в множестве нет, и именно поэтому построенное множество доказательством существования континуального множества паучков на плоскости не является?

Насчёт вырождаются в точки можно поспорить, но не буду.
Именно и хочу сказать, что по определению паучка в том множестве нет ни одного паучка и все.

[ИСН]

А я как раз настаиваю на том, что да, они вырождаются в точки. Что значит "меньше любого $\varepsilon$"? Ведь это В ТОЧНОСТИ те слова, которые говорят люди, не понимающие, почему 0.(9)=1, если их спросить, а на сколько же тогда эти числа различаются.

[ET]

Я бы не стал на этом настаивать. По крайней мере до тех пор, пока не будет четко сформулировано, что из себя представляет множество A . Вы сможете для какой-нибудь точки сказать, принадлежит она этому множеству или нет?

[tolstopuz]

ulidtko писал(а):

Ну, я бы выразился на «$\varepsilon$-языке»:
для любого $\varepsilon>0$ длины ножек меньше $\varepsilon$.

И для $\varepsilon$, равного длине ножек, тоже?

[Someone]

ulidtko писал(а):

В моём построении нет паучков, которым соответствуют бесконечные последовательности. Вы это хотите сказать?

Укажите хотя бы одного "паучка", которому соответствует бесконечная последовательность. В Вашем построении бесконечные последовательности вообще не упоминаются.

ulidtko писал(а):

Последний из паучков, которые получаются всегда из длинной ноги паучка с предыдущей итерации. Можно [s]его обозначить[/s] поставить ему в соответствие $0.(1)$

Какой "последний"? Где там у Вас "последний"?

ulidtko писал(а):

Паучки состоят из отрезков. Отрезки имеют длины. Легко увидеть, что сумма длин всех отрезков увеличивается на каждом шаге в раза. Если брать во внимание только процесс увеличения суммарной длины всех отрезков во время итераций (который происходит одновременно с процессом построения паучков), то обнаружим, что после бесконечного количества итераций эта длина (которую я записал как $\lim\limits_{n\to\infty} \left(\frac23+\frac12\right)^n$) будет бесконечна, а никак не нулевая.

Это длина чего?

ulidtko писал(а):

То есть, вы хотите сказать, что дело как раз в том, что при таком построении паучки в пределе вырождаются в точки

Откуда взялся предел? Вы строите "паучков" и тут же их уничтожаете. Всех до единого. Я понял бы выражение "паучок в пределе вырождается в точку", если бы речь шла об одном "паучке", размер которого стремился бы к нулю. У Вас же вместо этого нечто совсем другое.

ulidtko писал(а):

Ну а как же тогда с суммарной длиной?

Суммарной длиной чего? "Ножек" несуществующих "паучков"? Множество $A$, которое Вы определили как множество построенных "паучков", является пустым, потому что Вы всех построенных "паучков" уничтожили.

ulidtko писал(а):

именно поэтому построенное множество доказательством существования континуального множества паучков на плоскости не является?

О каком множестве Вы говорите? Вы не определили никакого множества, которое можно было бы считать результатом Вашего процесса, кроме множества "паучков" $A$, а оно пусто.

[ulidtko]

• Сейчас попробую дать определение мн-ва $A$, более-менее претендующее на формальность.
  
  Возьмём три последовательности множеств точек плоскости $(A_n)$, $(D_n)$, $(E_n)$. Будем соблюдать $A_n=D_n\setminus E_n \forall n \in \mathbb N$.
  $D_0$ состоит из одного паучка размером 1 (т.е. множество всех точек отрезков паучка есть множеством $D_0$). $E_0=\emptyset$. При "итерации" получаем множество $D_{k+1}$, которое есть объединением $D_k$ и множеств точек добавленных отрезков (по сути, это будут короткие "ноги" паучков, их будет $2*3^k$), и множество $E_{k+1}$, которое есть объединением $E_k$ и множества точек старых паучков, которые должны быть выброшены, то есть тех половин ног старых паучков, которые ближе к их центрам.
  Ну и $D=\bigcup\limits_{n=1}^\infty D_n$, $E=\bigcup\limits_{n=1}^\infty E_n$, $A=D\setminus E$
  
• =========================
  
  
  Someone писал(а):

  Укажите хотя бы одного "паучка", которому соответствует бесконечная последовательность. В Вашем построении бесконечные последовательности вообще не упоминаются.
  

  
  
  
  Цитата:

  Обозначим $A$ множество паучков после выполнения бесконечного количества итераций. Оно континуально, так как легко установить биекцию между паучками и бесконечными троичными дробями: $A_0 \leftrightarrow \{0\}$, $A_1 \leftrightarrow \{0.0; 0.1; 0.2\}$, $A_2 \leftrightarrow \{0.00; 0.01; 0.02; 0.10; 0.11; 0.12; 0.20; 0.21; 0.22\}, ...$
  

  
  
  Да, это неудачное объяснение.
  
  Поставим в соответствие единственному паучку из $A_0$ число 0. Далее паучкам, полученным из его ног, поставим в соответствие числа 0.0, 0.1, 0.2, начиная с длинной ноги по часовой стрелке. Далее, из паучка с номером $0.abc...r$ получаем паучки, которым аналогично ставим в соответствие числа $0.abc...r0$, $0.abc...r1$, $0.abc...r2$. После $i$-той итерации имеем биекцию между множеством $A_i$ и множеством всех троичных дробей с $i$ цифрами после запятой, считая и нули. По моему первоначальному замыслу, после выполнения бесконечного количества итераций мы получили бы биекцию с множеством всех бесконечных троичных дробей.
  
• ==========================
  
  Цитата:

  ulidtko писал(а):

  Последний из паучков, которые получаются всегда из длинной ноги паучка с предыдущей итерации. Можно [s]его обозначить[/s] поставить ему в соответствие $0.(1)$

  
  
  Какой "последний"? Где там у Вас "последний"?

  
  
  Можно всё значительно упростить. Будем брать последовательность паучков. Каждого следующего получаем из длинной ноги предыдущего. Всё. Последовательность их размеров стремится к нулю. Предел этой последовательности — "последний паучок" (да, это некорректно) — которому соответствует бесконечная дробь — элемент $A$ — точка, паучком не является.
  
  
  Someone писал(а):

  Множество $A$, которое Вы определили как множество построенных "паучков", является пустым, потому что Вы всех построенных "паучков" уничтожили.

  
  
  Категорически несогласен. Паучки, кстати, вовсе не уничтожаются - они остаются в предыдущем множестве $A_{i-1}$, а в новое множество мы добавляем новых паучков.
  Кроме того, оно не может быть пустым из-за длины:
  
• ===============================
  
  Someone писал(а):

  ulidtko писал(а):

  Паучки состоят из отрезков. Отрезки имеют длины. Легко увидеть, что сумма длин всех отрезков увеличивается на каждом шаге в $\frac76$ раза. Если брать во внимание только процесс увеличения суммарной длины всех отрезков во время итераций (который происходит одновременно с процессом построения паучков), то обнаружим, что после бесконечного количества итераций эта длина (которую я записал как $\lim\limits_{n\to\infty} \left(\frac23+\frac12\right)^n$) будет бесконечна, а никак не нулевая.

  
  
  Это длина чего?

  
  Имелась ввиду длина суммарная. Сумма длин всех отрезков всех паучков после завершения построения.
  
  Можно вопрос? Существует ли такая последовательность $(x_k)$ последовательностей чисел $(x_n^(k))$, каждая из которых стремится к нулю, а последовательность $(S_n)$ сумм $n$-тых элементов этих последовательностей $S_n=\sum\limits_{k=1}^\infty x_n^{(k)}$ стремилась к бесконечности?
  
• =============================================
  
  
  ИСН писал(а):

  А я как раз настаиваю на том, что да, они вырождаются в точки. Что значит "меньше любого $\varepsilon$"? Ведь это В ТОЧНОСТИ те слова, которые говорят люди, не понимающие, почему 0.(9)=1, если их спросить, а на сколько же тогда эти числа различаются.

  
  
  tolstopuz писал(а):

  ulidtko писал(а):

  Ну, я бы выразился на «$\varepsilon$-языке»:
  для любого $\varepsilon>0$ длины ножек меньше $\varepsilon$.

  И для $\varepsilon$, равного длине ножек, тоже?

  
  
  Я уже почти убеждён, что в множестве $A$ одни только отдельные точки, и паучков в них нет.

[ET]

ulidtko писал(а):

Можно всё значительно упростить. Будем брать последовательность паучков. Каждого следующего получаем из длинной ноги предыдущего. Всё. Последовательность их размеров стремится к нулю. Предел этой последовательности — "последний паучок" (да, это некорректно) — которому соответствует бесконечная дробь — элемент $A$ — точка, паучком не является.

Более того: Что есть предел последовательности, каждый элемент которой - геометрическая фигура тоже определять надо и боюсь это будет ой как непросто