Помогите найти ошибку (суперпроблема)

[reterty]

Я работаю с задачей численного расчета характеристик движения тела, брошенного под углом к горизонту с учетом силы сопротивления квадратично зависящей от скорости.
Суть проблемы такова: я вывожу аналитическую формулу для вычисления модуля конечной скорости тела (при подлете к Земле)
Запишем систему двух дифференциальных уравнений движения в проекциях на вертикальную и горизонтальную оси координат:
$\left\{\begin{array}{l} {Ox:\quad \ddot{x}=-k\dot{{\it x}}\sqrt{\dot{{\it x}}^{{\rm 2}} +\dot{{ y}}^{{\rm 2}} } } \\ {Oy:\quad \ddot{y}=-k\dot{{y}}\sqrt{\dot{{ x}}^{{\rm 2}} +\dot{{ y}}^{{\rm 2}} } -g} \end{array}\right. ,\quad $.
Здесь $k={\pi {\kern 1pt} d^{2} \rho \mathord{\left/{\vphantom{\pi {\kern 1pt} d^{2} \rho 16m}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} 16m} $ -коэффициент сопротивления воздуха с плотностью $\rho$ для тела сферической формы c диаметром $d$ и массой $m$.
Вводя бесконечно малое перемещение тела $ds$, можно переписать первое уравнение этой системы в виде:
$\ddot{x}=-k\dot{x}\dot{s}$. Разделяя переменные в этом уравнении и интегрируя, получим:
$\dot{x}=C \exp(-ks)$. Постоянную интегрирования найдем из начального условия: $\dot{x}_{s=0}=C=\upsilon_0 \cos{\alpha_0}$,
где $\upsilon_0$ и $\alpha_0$ - соответственно модуль начальной скорости и угол, под которым тело брошено к горизонту.
Запишем очевидное, для любой точки траектории, соотношение: $\dot{y}=\dot{x} \tg{\alpha}$.
Пусть в момент падения на Землю модуль скорости и угол к горизонту составляют, соответственно,
$\upsilon_{\rm final}$ и $\alpha _{\rm final}$. Естестественно, что с учетом силы сопротивления воздуха:
$\upsilon_{\rm final}<\upsilon_0$ и $| \alpha _{\rm final}|>\alpha _{0} $ ($\alpha _{\rm final}<0$).
Поскольку $\upsilon=\sqrt{\dot{{\it x}}^{{\rm 2}} +\dot{{ y}}^{{\rm 2}} } $,
то для момента падения тела на Землю будем иметь: $s=l$, где $l$-дальность полета и
$\upsilon_{\rm final}=\dfrac{\upsilon _{0} \cos \alpha _{0} \exp(-kl)}{\cos \alpha _{\rm final}}$ (1)
На первый взгляд, полученная формула (1) выглядит довольно правдоподобной, поскольку в предельном случае $k=0$ имеем: $\upsilon_{\rm final}=\upsilon _{0}$. Кроме того, с увеличением дальности полета (похоже на правду) конечная скорость экспоненциально уменьшается.
Однако, при углах бросания близких к прямым (почти вертикальное движение; я уже молчу про предельный случай вертикального движения, когда $l=0$, $| \alpha _{\rm final}|=\alpha _{0} =\pi/2$ и $\upsilon_{\rm final}=\upsilon _{0}$?????) получается абсурдная ситуация: экспонента близка к единице а отношение косинусов много больше единицы, так что конечная скорость вообще оказывается больше начальной!!!!!
Где же мои "три сосны"? Помогите найти ошибку. С нетерпением жду помощи.

-- Вс июл 30, 2017 20:17:31 --

Да, что бы было понятно, как получена система. Для силы сопротивления среды телу сферической формы использовалалась формула:
$\vec{F}=-(1/2)S\frac{\rho \upsilon \vec\upsilon}{2}$

[guryev]

reterty в сообщении #1236857 писал(а):

$s=l$, где $l$-дальность полета

Не дальность полёта, а длина траектории.

[reterty]

guryev в сообщении #1236858 писал(а):

reterty в сообщении #1236857 писал(а):

$s=l$, где $l$-дальность полета

Не дальность полёта, а длина траектории.

Нет, именно дальность полета-перемещение ведь равно в данном случае равно максимальному горизонтальному смещению - т. е. дальности полета

[Pphantom]

Распишите детально, как именно вводится $ds$.

[reterty]

Pphantom в сообщении #1236860 писал(а):

Распишите детально, как именно вводится $ds$.

$ds=\sqrt{dx^2+dy^2}$. Следовательно, $\dot{s}=\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}$

[Pphantom]

reterty в сообщении #1236862 писал(а):

$ds=\sqrt{dx^2+dy^2}$. Следовательно, $\dot{s}=\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}$

reterty в сообщении #1236857 писал(а):

то для момента падения тела на Землю будем иметь: $s=l$

reterty в сообщении #1236857 писал(а):

я уже молчу про предельный случай вертикального движения, когда $l=0$

А теперь посмотрите на все это внимательно. Если $ds \geqslant 0$, то при каком условии начальное и конечное значения $s$ могут равняться нулю?

[reterty]

Pphantom в сообщении #1236864 писал(а):

reterty в сообщении #1236862 писал(а):

$ds=\sqrt{dx^2+dy^2}$. Следовательно, $\dot{s}=\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}$

reterty в сообщении #1236857 писал(а):

то для момента падения тела на Землю будем иметь: $s=l$

reterty в сообщении #1236857 писал(а):

я уже молчу про предельный случай вертикального движения, когда $l=0$

А теперь посмотрите на все это внимательно. Если $ds \geqslant 0$, то при каком условии начальное и конечное значения $s$ могут равняться нулю?

Уточните вопрос

[guryev]

reterty в сообщении #1236862 писал(а):

$ds=\sqrt{dx^2+dy^2}$

Определённое таким образом $ds$ не является перемещением. Если бы вы определили его как вектор

$$d\mathbf{s}=d\mathbf{x}+d\mathbf{y},$$

это было бы перемещением.

[reterty]

Оно является модулем элементарного перемещения

[Erleker]

reterty
Бесконечно малого перемещения между 2 близкими точками.Но его интеграл $s$ не является модулем перемещения из начальной точки в конечную, а является длиной траектории.И поэтому $s$ не равен дальности $l$.

[reterty]

Подумал. Абсолютно согласен. Это элемент дуги траектории. То есть все-таки s- длина траектории. Спасибо.
Меня сбила с толку монография Березкина (Березкин Е.Н. Курс теоретической механики / Е.Н. Березкин. – МГУ-М. – 1974. – 646 с.) где эта величина "обзывается" перемещением.

-- Вс июл 30, 2017 21:48:12 --

Вру. Она там просто обозначена как $s$ а не $L$ и это сбило меня с толку