Задача "Паучки"

[ulidtko]

Есть евклидово пространство $\mathbb R^2$ (обыкновенная плоскость). "Паучком" назовём объединение трёх отрезков ненулевой длины, таких, что существует точка-"центр", которая принадлежит трём концам отрезков. Углы между отрезками также ненулевые. Буква Y даёт наглядное представление о "паучке":)
Спрашивается, какой максимальной мощности множество паучков можно расположить на плоскости так, чтобы они не имели общих точек (не пересекались).

Понятно, что основной вопрос состоит в том, может ли указанное множество иметь континуальную мощность (размещение счётного количества паучков тривиально; континуум-гипотезу тактично не трогаем).
Я предлагаю утверждение, что существует множество указанного типа континуальной мощности. Для доказательства построим его как геометрический фрактал. Предполагаем всех паучков в форме буквы T с длинами "ножек" $\frac13a, \frac12a, \frac13a$. При "итерации" каждый из трёх отрезков каждого паучка заменяется на паучка с "размером" $a$, равным длине заменяемого отрезка, при этом центры новых паучков лежат на концах ножек прежних паучков, и длинная "ножка" являются частью заменяемого отрезка. Обозначим $A_0$ множество, состоящее из одного паучка размера 1; множество $A_{i+1}$ будем получать из множества $A_i$ выполнением "итерации". Таким образом, при любых натуральных $k$ множество $A_k$ будет содержать ровно $3^k$ паучков.
Обозначим $A$ множество паучков после выполнения бесконечного количества итераций. Оно континуально, так как легко установить биекцию между паучками и бесконечными троичными дробями: $A_0 \leftrightarrow \{0\}$, $A_1 \leftrightarrow \{0.0; 0.1; 0.2\}$, $A_2 \leftrightarrow \{0.00; 0.01; 0.02; 0.10; 0.11; 0.12; 0.20; 0.21; 0.22\}, ...$

Многие мои сокурсники верят, что ответом будет как раз счётное количество, однако доказательств никто не предоставляет. Соответственно, у меня возникают сомнения в вышеприведенном утверждении и его доказательстве. Прошу помощи

[Профессор Снэйп]

ulidtko писал(а):

Спрашивается, какой максимальной мощности множество паучков можно расположить на плоскости так, чтобы они не имели общих точек (не пересекались).

Правильный ответ --- счётная мощность. В Ваши измышления не вникал, поскольку они приводят к неправильному ответу.

В точке пересечения отрезков паучка проведите маленькую окружность и в каждом из трёх секторов окружности возьмите точку с рациональными координатами. Легко проверить, что разным паучкам будут соответствовать разные тройки рациональных чисел. Таким образом, мощность множества непересекающихся паучков, одновременно расположенных на плоскости, не больше чем мощность множества $\mathbb{Q}^6$.

[ulidtko]

Большое спасибо, всё понял, хоть и не сразу

Профессор Снэйп писал(а):

В Ваши измышления не вникал, поскольку они приводят к неправильному ответу.

Вот интересно знать, где и в чём ошибка...

[ET]

ulidtko писал(а):

Вот интересно знать, где и в чём ошибка...

Видимо в этом...

ulidtko писал(а):

Обозначим $A$ множество паучков после выполнения бесконечного количества итераций.

[ulidtko]

Согласен, видимо в этом. Но почему?

Особенно если вспомнить построение кривых Коха, Пеано, множества Кантора...

[ET]

ulidtko писал(а):

Согласен, видимо в этом. Но почему?

Особенно если вспомнить построение кривых Коха, Пеано, множества Кантора...

Я больше 10 лет как мехмат закончил многое подзабыл. Мн-во Кантора это те точки, у которых в троичной записи единичек нет? Ничему не противоречит, может существовать. А вот из каких конкретно паучков состоит множество А? В задаче ведь спашивается про мощность множества паучков а в множестве А я либо паучков не вижу вообще либо неправильно понял рассуждения

[ulidtko]

ET писал(а):

Мн-во Кантора это те точки, у которых в троичной записи единичек нет?

Да, если не вникать в тонкости.


По построению после любого, сколь угодно большого, количества итераций у нас есть множество, состоящее из паучков (и только из них). В этом я точно уверен.

[ИСН]

ulidtko, Ваша идея упирается в разницу между двумя бесконечностями, счётной и континуумом, вот в каком аспекте. Числа (третичные дроби, десятичные дроби, whatever) - их континуум. А дробей конечной длины - всего лишь счётное множество. То есть их очень мало, почти совсем нет. А в Вашей биекции фигурируют как раз только они.

[Echo-Off]

Понятие "множество после выполнения бесконечного количества итераций" не определено. При построении множества Кантора этот момент обходится так: для каждого конечного $n$ строится множество $F_n$, а затем берётся $F=\cap\limits_n F_n$ - такое пересечение корректно.

[ulidtko]

Echo-Off писал(а):

Понятие "множество после выполнения бесконечного количества итераций" не определено.

На это я также обращал внимание. Я использую действие, с помощью которого строят, например, кривую Коха: отрезки заменяются нескольким другими отрезками, причём осуществляется как выбрасывание части старого отрезка, так и добавление новых частей, т.е. обход с помощью бесконечного объединения/пересечение не подходит.

Добавлено спустя 5 минут 15 секунд:

ИСН писал(а):

А дробей конечной длины - всего лишь счётное множество.

Я в курсе
Проблема в том, что после выполнения не до конца определённого действия "бесконечное количество итераций" дроби должны быть как раз бесконечными.

[RIP]

Построение кривой Коха можно формализовать примерно так: имеем последовательность кривых $x_n\colon[0;1]\to\mathbb R^2$, (равномерно) сходящуюся к некоторой предельной кривой $x\colon[0;1]\to\mathbb R^2$ (т.е.

$$x_n(t)\mathop{\rightrightarrows}\limits^{[0;1]}_{n\to\infty}x(t)$$

). Предельная кривая называется кривой Коха.

[ulidtko]

Ну с кривыми можно и так. А как насчёт дерева, где, грубо говоря, | заменяется на Y?
Просто я не верю, что любой фрактал можно представить пределом последовательности кривых; наверняка есть другие способы.

Добавлено спустя 9 минут 12 секунд:

Например, составить последовательность функций $\mathbb R^2\to \{ 0, 1 \}$

[RIP]

ulidtko писал(а):

наверняка есть другие способы.

Наверное, есть, но это вопрос уже не ко мне. А для построения дерева, если я правильно понял конструкцию, достаточно кривых.
Предложите хотя бы какой-нибудь более-менее формальный способ построения Вашего множества $A$, поясните, почему оно будет состоять именно из паучков...

[Someone]

ulidtko писал(а):

Есть евклидово пространство $\mathbb R^2$ (обыкновенная плоскость). "Паучком" назовём объединение трёх отрезков ненулевой длины, таких, что существует точка-"центр", которая принадлежит трём концам отрезков. Углы между отрезками также ненулевые. Буква Y даёт наглядное представление о "паучке":)
Спрашивается, какой максимальной мощности множество паучков можно расположить на плоскости так, чтобы они не имели общих точек (не пересекались).

...

Я предлагаю утверждение, что существует множество указанного типа континуальной мощности. Для доказательства построим его как геометрический фрактал. Предполагаем всех паучков в форме буквы T с длинами "ножек" $\frac13a, \frac12a, \frac13a$. При "итерации" каждый из трёх отрезков каждого паучка заменяется на паучка с "размером" $a$, равным длине заменяемого отрезка, при этом центры новых паучков лежат на концах ножек прежних паучков, и длинная "ножка" являются частью заменяемого отрезка.

Я не понял, что произошло со старым "паучком". Он уничтожился? Если не уничтожился, то новые "паучки" пересекаются со старым, а по услрвию требуется, чтобы они не пересекались. Если уничтожился, то после окончания построения у Вас вообще ни одного паучка не будет, а не только континуума.

ulidtko писал(а):

Обозначим $A_0$ множество, состоящее из одного паучка размера 1; множество $A_{i+1}$ будем получать из множества $A_i$ выполнением "итерации". Таким образом, при любых натуральных $k$ множество $A_k$ будет содержать ровно $3^k$ паучков.
Обозначим $A$ множество паучков после выполнения бесконечного количества итераций. Оно континуально, так как легко установить биекцию между паучками и бесконечными троичными дробями: $A_0 \leftrightarrow \{0\}$, $A_1 \leftrightarrow \{0.0; 0.1; 0.2\}$, $A_2 \leftrightarrow \{0.00; 0.01; 0.02; 0.10; 0.11; 0.12; 0.20; 0.21; 0.22\}, ...$

Не вижу здесь ни одной бесконечной последовательности, поставленной в соответствие какому-либо "паучку".

[ulidtko]

Someone писал(а):

Я не понял, что произошло со старым "паучком". Он уничтожился? Если не уничтожился, то новые "паучки" пересекаются со старым, а по услрвию требуется, чтобы они не пересекались. Если уничтожился, то после окончания построения у Вас вообще ни одного паучка не будет, а не только континуума.

ulidtko писал(а):

При "итерации" каждый из трёх отрезков каждого паучка заменяется на паучка...

Да, уничтожился. Но почему это после окончания построения паучков не будет? После каждой итерации паучки есть, причём их всё больше
И ещё. Заметьте, что после каждой итерации суммарная длина всех отрезков увеличивается $\left(\frac12+\frac13+\frac13>1\right)$

Someone писал(а):

Не вижу здесь ни одной бесконечной последовательности, поставленной в соответствие какому-либо "паучку".

Бесконечных вы здесь увидеть не можете, так как я их не записывал (хм, и почему я этого не сделал?..). Я записал соответствия элементов множеств $A_0$, $A_1$, $A_2$ троичным дробям. Потом я поставил троеточие, предполагая, что вы уловили принцип построения дроби, соответствующей паучку из $i$-того множества.