Отрицание утверждения с O-большим

[vicvolf]

grizzly в сообщении #1236063 писал(а):

Я Вам повторю то, что уже несколько раз Вам объясняли в этой теме: в работе среди прочего показано, что какое бы большое $n_0$ мы не взяли, найдётся $n>n_0$, такое, что $M(n)/n^{1/2}>1.06$. Понимаете? показано, что найдётся счётное число таких $n$

Где это доказано в работе? Я нашел только: Consequently, the Mertens conjecture is false, as is shown on the positive side by the result on line 15 and on the negative side by the result on line 21.
Гипотеза Мертенса звучит так: для любого $n>1$ выполняется неравенство $|M(n)|<n^{1/2}$. Поэтому, чтобы ее опровергнуть достаточно указать хотя бы одну точку $n_0>1$ , где это неравенство не выполняется.

[Xaositect]

Вы знаете, что такое $\lim \sup$?

[vicvolf]

Xaositect в сообщении #1236079 писал(а):

Вы знаете, что такое $\lim \sup$?

Это верхний предел последовательности. В работе, как раз приводится утверждение о верхнем и нижнем пределе последовательности $M(n)/n^{1/2}$. В ней описывается вычислительный процесс определения конечного числа таких пределов и показано в частности, что верхний предел данной последовательности больше 1,06. Для этого найдена только одна такая точка.

grizzly в сообщении #1236063 писал(а):

в работе среди прочего показано, что какое бы большое $n_0$ мы не взяли, найдётся $n>n_0$, такое, что $M(n)/n^{1/2}>1.06$. Понимаете? показано, что найдётся счётное число таких $n$

Но я не понимаю, почему по отношению к данной работе говорится, что в ней показано, что найдётся счетное бесконечное число $n>n_0$, такое, что $M(n)/n^{1/2}>1.06$. Ведь это в данной работе не проверялось. А вдруг имеется только конечное число таких точек? Это наверно связано с определением данного предела. Что-то я туплю! Не могли бы объяснить подробнее.

[Xaositect]

vicvolf в сообщении #1236185 писал(а):

Для этого найдена только одна такая точка.

Для того, чтобы найти верхний предел, одной точки недостаточно. Надо доказать, что близкие значения повторяются бесконечное число раз. Это определение верхнего предела.

Для того, чтобы доказать утверждение $\lim \sup M(x)/x^{\frac12} > 1.06$, то есть что значения, большие $1.06$ встречаются бесконечное число раз, в работе функция $M(e^y)/(e^y)^{\frac12}$ приближается другой функцией $h(y)$ с точностью $O(e^{-y/2})$. Эту функцию потом сворачивают с некоторым ядром $K$ для "сглаживания", и доказывают оценку $h$ через свертку $h_K$. Потом отмечается, что свертка $h_K$ обладает свойством почти периодичности, то есть если она принимает некоторое значение $h_K(y_0)$, то для любого $\varepsilon$ она принимает значения из $(h_K(y_0) - \varepsilon, h_K(y_0) + \varepsilon)$ на неограниченном множестве.

И вот только после этого начинаются численные эксперименты. И когда найдена одна точка для $h_K$ через нули зета-функции, эта цепочка оценок разворачивается, и получается, что исходная функция $M(x)/x^{\frac12}$ принимает большие $1.06$ значения на неограниченной последовательности точек.

[grizzly]

Xaositect
Спасибо за пояснения (мне они были полезны).

Xaositect в сообщении #1236190 писал(а):

и получается, что исходная функция $M(x)/x^{\frac12}$ принимает большие $1.06$ значения на неограниченной последовательности точек.

Подчеркну для vicvolf, что техника данной работы не позволяет найти в явном виде ни одну из этих точек. Это доказательство существования.

[vicvolf]

Xaositect
Большое спасибо!

grizzly в сообщении #1236052 писал(а):

Разберитесь, пожалуйста, что было найдено в той работе и из каких предположений можно вывести ГР. Там очень простой английский и очень подробно и понятно объясняются основные идеи самой работы и истории вопроса (я не говорю о доказательствах).

А доказательства все таки надо смотреть!

[grizzly]

vicvolf в сообщении #1236228 писал(а):

А доказательства все таки надо смотреть!

Далеко не всегда -- зависит от цели ознакомления с материалом. У меня, например, были другие цели. Но принципиально важно уметь отличать, что действительно понятно, а что нет.

[vicvolf]

Правильно ли я понимаю, что на основании статьи https://pdfs.semanticscholar.org/a3fd/9 ... 18d8fb.pdf, для любого натурального $m$ со значением функции $M(m)/m^{1/2}=A<0$ возможны два варианта:
1. Либо значение нижнего предела функции $M(n)/n^{1/2}$ меньше значения А, как в статье.
2. Либо значение нижнего предела функции $M(n)/n^{1/2}$ равно или больше значения А (гипотеза 2 в разделе 2 статьи, из которой следует ГР)?

[grizzly]

vicvolf в сообщении #1236659 писал(а):

Правильно ли я понимаю

По Вашей формулировке я не рискну сказать, правильно ли Вы это понимаете. Давайте я лучше правильно сформулирую то, что (как я понял) Вы хотели сказать.

Для любого $A<0$ выполнено одно из двух:
1) Либо нижний предел функции $M(n)/n^{1/2}$ меньше $A$.
2) Либо нижний предел функции $M(n)/n^{1/2}$ больше или равен $A$.
Авторы статьи считают наиболее вероятным, что для любого $A<0$ имеет место случай 1).
Случай 2) для некоторого $A$ есть в точности гипотеза ii) (раздел 2 статьи), из которой следует ГР.

[vicvolf]

grizzly Согласен. Таким образом, в работе доказано:
1. Функция $M(n)/n^{1/2}$ имеет нижний предел.
2. Рассмотрены случаи, когда этот предел больше или меньше А.

[grizzly]

vicvolf в сообщении #1236707 писал(а):

1. Функция $M(n)/n^{1/2}$ имеет нижний предел.

Так как Вы формулируете свои выводы в терминах числовых последовательностей, то я напомню, что любая числовая последовательность имеет нижний предел (ограниченный или нет). Это простое утверждение рассматривается на 1м курсе и никак не может считаться результатом серьёзной работы.

vicvolf в сообщении #1236707 писал(а):

2. Рассмотрены случаи, когда этот предел больше или меньше А.

О чём Вы? (я затрудняюсь понять Вашу мысль)

[vicvolf]

grizzly в сообщении #1236714 писал(а):

vicvolf в сообщении #1236707 писал(а):

1. Функция $M(n)/n^{1/2}$ имеет нижний предел.

Так как Вы формулируете свои выводы в терминах числовых последовательностей, то я напомню, что любая числовая последовательность имеет нижний предел (ограниченный или нет).

Здесь должно доказываться существование конечного предела последовательности $M(n)/n^{1/2}$, т.е. ее сходимость.
Иначе из сказанного ниже 1) всегда выполняется и доказывать в работе нечего, а 2) всегда не выполняется, следовательно и ГР.

Цитата:

Для любого $A<0$ выполнено одно из двух:
1) Либо нижний предел функции $M(n)/n^{1/2}$ меньше $A$.
2) Либо нижний предел функции $M(n)/n^{1/2}$ больше или равен $A$.
Авторы статьи считают наиболее вероятным, что для любого $A<0$ имеет место случай 1).
Случай 2) для некоторого $A$ есть в точности гипотеза ii) (раздел 2 статьи), из которой следует ГР.

[grizzly]

vicvolf в сообщении #1236721 писал(а):

Здесь должно доказываться существование конечного предела последовательности $M(n)/n^{1/2}$, т.е. ее сходимость.

Существование нижнего предела не означает сходимости. Старайтесь быть аккуратнее. Ни о каких конечных пределах никто даже и не заикался.

Повторю ещё раз то, что Вы хотели сказать выше (это правильно):

grizzly в сообщении #1236693 писал(а):

Авторы статьи считают наиболее вероятным, что для любого $A<0$ имеет место случай 1).

grizzly в сообщении #1236693 писал(а):

Для любого $A<0$ выполнено одно из двух:
1) Либо нижний предел функции $M(n)/n^{1/2}$ меньше $A$.

-- 29.07.2017, 23:08 --

vicvolf в сообщении #1236721 писал(а):

Иначе из сказанного ниже 1) всегда выполняется и доказывать в работе нечего

Из того, что мы не можем доказать ограниченность последовательности, не следует, вообще говоря, что последовательность неограниченна.

(Оффтоп)

(Предлагаю Вам взять паузу на сегодня и продолжить потом на свежую голову.)

[vicvolf]

grizzly в сообщении #1236693 писал(а):

2) Либо нижний предел функции $M(n)/n^{1/2}$ больше или равен $A$.
Случай 2) для некоторого $A$ есть в точности гипотеза ii) (раздел 2 статьи), из которой следует ГР.

В этом случае точно нужно доказывать существование конечного нижнего предела?

[grizzly]

vicvolf в сообщении #1236856 писал(а):

В этом случае точно нужно доказывать существование конечного нижнего предела?

Вы задаёте некорректный вопрос. Судя по всему, Вы неправильно расставили какие-то кванторы у себя в голове. Я не знаю, какие именно, поэтому не могу помочь Вам исправить Ваши заблуждения (для этого мне не хватает педагогического опыта).