Вопрос по квадратичным формам

[Lister]

Здравствуйте. Недавно в книге по численным методам встретил утверждение:
"Известно, что для симметричной положительно определенной матрицы $A$ справедливо неравенство $(x,x)\lambda_{min} \leqslant (Ax,x) \leqslant (x,x)\lambda_{max}$".
Доказательства там не приводилось; просмотрел несколько книг по линейной алгебре, обнаружил там следующих факты:
В силу симметричности матрицы $A$ линейный оператор $Ax$ является самосопряженным; рассматривая вопрос о нахождении экстремума квадратичной формы $(Ax,x)$ на единичной сфере с центром в начале координат $(x,x)=1$ , получаем, что минимум и максимум достигаются на максимальном и минимальном собственных значениях оператора $A$, т.е. $\lambda_{min} \leqslant (Ax,x) \leqslant \lambda_{max}$ при $(x,x)=1$.
Как теперь "добавить" сюда скалярное произведение $(x,x)$, избавившись при этом от ограничения $(x,x)=1$, чтобы доказать исходное равенство? Я так понимаю, что где-то нужно будет нужно использовать факт $\lambda_{k}>0$, являющийся следствием положительной определенности матрицы $A$? Если просто домножить все части неравенства на скалярное произведение $(x,x)$, то мне такой ход почему-то кажется ошибочным с силу своей тривиальности. Или, может быть, я выбрал неверный путь?
Всем заранее огромное спасибо!

[Brukvalub]

Lister писал(а):

Если просто домножить все части неравенства на скалярное произведение $(x,x)$, то мне такой ход почему-то кажется ошибочным с силу своей тривиальности.

Ну и зря кажется. Не все тривиальное - плохо!

[Lister]

Brukvalub, вы хотите сказать, что исходное равенство может быть получено из равенства $\lambda_{min} \leqslant (Ax,x) \leqslant \lambda_{max}$ просто путем домножения всех частей на $(x,x)$? А положительную определенность квадратичной формы, значит, использовать не нужно?

[ewert]

Lister писал(а):

Brukvalub, вы хотите сказать, что исходное равенство может быть получено из равенства $\lambda_{min} \leqslant (Ax,x) \leqslant \lambda_{max}$ просто путем домножения всех частей на $(x,x)$? А положительную определенность квадратичной формы, значит, использовать не нужно?

А её -- положительной определённости -- и нет. Просто есть такое свойство, вытекающее из спектрального разложения эрмитовой матрицы, что $\lambda_{min}(x,x) \leqslant (Ax,x) \leqslant \lambda_{max}(x,x)\ (\forall x)$. Из которого делением на квадрат нормы получаем Ваше. Ну а при желании -- домножением Вашего на тот же квадрат нормы получаем исходное..

[Lister]

Всем спасибо. Сомневался в том, что можно просто "взять и домножить" - думал, что, возможно, есть какой-то "подвох".

[ewert]

На всякий случай (навеяно тем, что будто бы в книжках чего-то там нет). Есть в любых книжках сакраментальный факт: что у любой эрмитовой (== самосопряжённой) матрицы имеется ортонормированный собственный базис. Т.е. такой базис, что любой его элемент есть собственный вектор, причём с единичной нормой, и причём все эти элементы меж собой попарно ортогональны.

Ну если так, то любой элемент вообще раскладывается как $x=\sum c_k\vec\varphi_k$, где $\{\vec\varphi_k\}$ -- тот самый базис. Тогда неравенство, о котором шла речь в моём предыдущем посте, приводится к виду:

$\lambda_{\bf min}\sum\limits_k |c_k|^2\leqslant\sum\limits_k\lambda_{k}|c_k|^2\leqslant\lambda_{\bf max}\sum\limits_k |c_k|^2$

, а оно тривиально.